Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 56 trang 98 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

Lời giải:

Xét ΔPAC và ΔPKM,ta có:

$\frac{PK}{PA}=\frac{1}{2};\frac{PM}{PC}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\frac{PK}{PA}=\frac{PM}{PC}$ .

Lại có: $\widehat{APC}=\widehat{KPM}$ (đối đỉnh)

Suy ra: ΔPKM đồng dạng ΔPAC(c.g.c) với tỉ số đồng dạng $k=\frac{1}{2}$.

Suy ra: $\frac{KM}{AC}=\frac{1}{2}$  (1)

Vì ΔPKM đồng dạng ΔPAC nên $\widehat{PKM}=\widehat{PAC}$

Suy ra: KM //AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Trong ΔABC, ta có: KM // AC.

Suy ra: ΔBMK đồng dạng ΔBAC (g.g)

Suy ra: $\frac{BM}{BA}=\frac{BK}{BC}=\frac{MK}{AC}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{BM}{BA}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{2}$ 

Vì BM = $\frac{1}{2}$BA nên M là trung điểm AB.

Vì BK = $\frac{1}{2}$BC nên K là trung điểm BC.

Do đó CM, AK là các trung tuyến của tam giác ABC.