Tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H

Giải Toán 8 Bài tập ôn cuối năm

Bài 3 trang 131 SGK Toán lớp 8 tập 2:

a) Hình thoi?

b) Hình chữ nhật?

Lời giải:

Ta có: CE ⊥ AB (giả thiết)

KB ⊥ AB (giả thiết)

⇒ BK // CE (1)

Tương tự BH // KC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BHCK là hình bình hành.

Gọi M là giao điểm của hai đường chéo BC và HK.

a) Tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC

⇒ AH ⊥ BC. (3)

Để tứ giác BHCK là hình thoi

⇔ HM ⊥ BC ( trong đó M là giao điểm của hai đường chéo HK và BC) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: A, H, M thẳng hàng.

Khi đó,tam giác ABC có AM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABC là cân tại A.

b) Để BHCK là hình chữ nhật

$\iff \widehat{HBK}={90}^0\iff \widehat{DBK}=\widehat{ABK}$

Suy ra: D trùng với A.

Khi đó: $\widehat{BAC}={90}^0$

Vậy BHCK là hình chữ nhật khi tam giác ABC vuông tại A.