Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

Mục lục Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

Video giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (P1)

Video giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (P2)

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 14 Toán 8 Tập 1: Tính (a + b)(a² – ab + b²) (với a, b là các số tùy ý).

Lời giải

Ta có: (a + b)(a² – ab + b²)

= a(a² – ab + b²) + b.(a² – ab + b²)

= a.a² – a.ab + a.b² + b.a² – b.ab + b.b²

= a³ – a²b + ab² + ba² – b²a + b³

= a³ + (-a²b + ba²) + (ab² – b²a) + b³

= a³ + 0 + 0 + b³

= a³ + b³.

Câu hỏi 2 trang 15 Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức số (6) bằng lời:

Lời giải

Tổng lập phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức với bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Áp dụng

a) Viết x³ + 8 dưới dạng tích;

b) Viết (x + 1)(x² – x + 1) dưới dạng tổng.

Lời giải

a) Ta có: x³ + 8 = x³ + 2³

Biểu thức này đang ở dạng vế trái của hằng đẳng thức số (6) với A = x, B = 2.

Áp dụng hằng đẳng thức số (6), ta có:

x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² – x.2 + 2²)

= (x + 2)(x² – 2x + 4).

Vậy x³ + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4).

b) Ta có:

(x + 1)(x² – x + 1) = (x + 1)(x² – x.1 + 1²)

Biểu thức này đang ở dạng vế phải của hằng đẳng thức số (6) với A = x, B = 1.

Áp dụng hằng đẳng thức số (6), ta có:

(x + 1)(x² – x + 1) = (x + 1)(x² – x.1 + 1²)

= x³ + 1³ = x³ + 1.

Vậy (x + 1)(x² – x + 1) = x³ + 1.

Câu hỏi 3 trang 15 Toán 8 Tập 1: Tính (a - b)(a² + ab + b² ) (với a, b là hai số tùy ý).

Lời giải

(a - b)(a² + ab + b² )

= a(a² + ab + b² ) - b(a² + ab + b² )

= a³ + a² b + ab² - ba² - ab² - b³

= a³ + (a²b – ba²) + (ab² – ab²) – b³

= a³ + 0 + 0 – b³

= a³ - b³.

Vậy (a - b)(a² + ab + b² ) = a³ - b³.

Câu hỏi 4 trang 15 Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (7) bằng lời.

Lời giải

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Áp dụng

a) Tính (x – 1)(x² + x + 1);

b) Viết 8x³ – y³ thành tích;

c) Hãy đánh dấu x vào ô có đáp án đúng của tích: (x + 2)(x² – 2x + 4).

x3 + 8
x3 – 8
(x + 2)3
(x – 2)3

Lời giải

a) Biểu thức đã cho có dạng vế phải của hằng đẳng thức số (6) với A = x, B = 1, ta có:

(x – 1)(x² + x + 1) = (x – 1)(x² + x.1 + 1²)

= x³ – 1³ = x³ – 1.

Vậy (x – 1)(x² + x + 1) = x³ – 1.

b) Ta có: 8x³ – y³ = (2x)³ – y³.

Biểu thức trên có dạng vế trái của hằng đẳng thức số (7) với A = 2x và B = y, khi đó ta có:

8x³ – y³ = (2x)³ – y³

= (2x – y)[(2x)² + 2x.y + y²]

= (2x – y)(4x² + 2xy + y²).

Vậy 8x³ – y³ = (2x – y)(4x² + 2xy + y²).

c) Ta có:

(x + 2)(x² – 2x + 4) = (x + 2)(x² – 2.x + 2²).

Biểu thức trên có dạng vế phải của hằng đẳng thức số (6) với A = x, B = 2.

Áp dụng hằng đẳng thức số (6), ta có:

(x + 2)(x² – 2x + 4) = (x + 2)(x² – 2.x + 2²)

= x³ – 2³ = x³ – 8.

Ta có bảng sau:

x3 + 8
x3 – 8	x
(x + 2)3
(x – 2)3

Bài tập

Bài 30 trang 16 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

Lời giải:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

= (x + 3)(x2 – 3x + 32) – (54 + x3)

= x3 + 33 – (54 + x3)

(Áp dụng HĐT (6) với A = x và B = 3)

= x3 + 27 – 54 – x3

= –27

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 – 2x.y + y2] – (2x – y)[(2x)2 + 2x.y + y2]

= [(2x)3 + y3] – [(2x)3 – y3]

= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3

= 2y3

Bài 31 trang 16 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a³ + b³, biết a.b = 6 và a + b = -5

Lời giải:

a) Biến đổi vế phải ta được:

(a + b)³ – 3ab(a + b)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab²

= a³ + b³

Vậy a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) Biến đổi vế phải ta được:

(a – b)³ + 3ab(a – b)

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + 3a²b – 3ab²

= a³ – b³

Vậy a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

– Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta được:

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

= (–5)³ – 3.6.(–5) = –5³ + 3.6.5

= –125 + 90 = –35

Bài 32 trang 16 Toán 8 Tập 1: Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

a) $\left(3x+y\right)\left(-+\right)=27x^3+y^3;$

b) $\left(2x-\right)\left(+10x+\right)=8x^3-125.$

Lời giải:

a) Ta có thể nhận thấy đây là hằng đẳng thức (6).

27x³ + y³

= (3x)³ + y³

= (3x + y)[(3x)² – 3x.y + y²]

(Áp dụng HĐT (6) với A = 3x, B = y)

= (3x + y)(9x² – 3xy + y²)

Vậy ta cần điền:

$\left(3x+y\right)\left(\boxed{9x^2}-\boxed{3xy}+\boxed{y^2}\right)=27x^3+y^3.$

b) Ta có thể nhận thấy đây là hằng đẳng thức (7)

8x³ – 125

= (2x)³ – 5³

= (2x – 5).[(2x)² + (2x).5 + 5²]

(Áp dụng HĐT (7) với A = 2x, B = 5)

= (2x – 5).(4x² + 10x + 25)

Vậy ta cần điền:

$\left(2x-\boxed{5}\right)\left(\boxed{4x^2}+10x+\boxed{25}\right)=8x^3-125.$

Bài 33 trang 16 Toán 8 Tập 1:

a) (2 + xy)²;

b) (5 – 3x)²;

c) (5 – x²)(5 + x²);

d) (5x – 1)³;

e) (2x – y)(4x² + 2xy + y²);

f) (x + 3)(x² – 3x + 9).

Lời giải

a) (2 + xy)²

= 2² + 2.2.xy + (xy)² (áp dụng hằng đẳng thức số (1))

= 4 + 4xy + x²y².

b) (5 – 3x)²

= 5² – 2.5.3x + (3x)² (áp dụng hằng đẳng thức số (2))

= 25 – 30x + 9x².

c) (5 – x²)(5 + x²)

= 5² – (x²)² (áp dụng hằng đẳng thức số (3))

= 25 – x⁴

d) (5x – 1)³

= (5x)³ – 3.(5x)².1 + 3.5x.1² – 1³ (áp dụng hẳng đẳng thức số (5))

= 125x³ – 3.25x².1 + 3.5x.1 – 1

= 125x³ – 75x² + 15x – 1.

e) (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

= (2x – y)[(2x)² + 2x.y + y²]

= (2x)³ – y³ (áp dụng hằng đẳng thức số (7))

= 8x³ – y³.

f) (x + 3)(x² – 3x + 9)

= (x + 3)(x² – 3.x + 3²)

= x³ + 3³ (áp dụng hằng đẳng thức số (6)).

= x³ + 27.

Bài 34 trang 17 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) (a + b)² – (a – b)²;

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³;

c) (x + y + z)² – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)².

Lời giải

a) (a + b)² – (a – b)²

= a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

= (a² – a²) + (2ab + 2ab) + (b² – b²)

= 0 + 4ab + 0

= 4ab.

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) – 2b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³ – 2b³

= (a³ – a³) + (3a²b + 3a²b) + (3ab² – 3ab²) + (b³ + b³ – 2b³)

= 0 + 6a²b + 0 + 0

= 6a²b.

c) (x + y + z)² – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)²

Biểu thức trên có dạng của hằng đẳng thức số (2) với A = x + y + z và B = x + y, khi đó ta có:

(x + y + z)² – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)²

= [(x + y + z) – (x + y)]²

= (x + y + z – x – y)²

= [(x – x) + (y – y) + z]²

= z².

Bài 35 trang 17 Toán 8 Tập 1:Tính nhanh:

a) 34² + 66² + 68.66;

b) 74² + 24² – 48.74;

Lời giải

a) 34² + 66² + 68.66;

= 34² + 68.66 + 66²

= 34² + 2.34.66 + 66²

= (34 + 66)²

= 100²

= 10 000.

b) 74² + 24² – 48.74

= 74² – 48.74 + 24²

= 74² – 2.24.74 + 24²

= (74 – 24)²

= 50²

= 2 500.

Bài 36 trang 17 Toán 8 Tập 1:Tính giá trị của biểu thức:

a) x² + 4x + 4 tại x = 98.

b) x³ + 3x² + 3x + 1 tại x = 99

Lời giải:

a) x² + 4x + 4

= x² + 2.x.2 + 2²

= (x + 2)² (Hằng đẳng thức số (1)).

Thay x = 98 vào biểu thức, ta được: (98 + 2)² = 100² = 10 000.

Vậy với x = 98 thì giá trị biểu thức bằng 10 000.

b) x³ + 3x² + 3x + 1

= x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³

= (x + 1)³ (Hằng đẳng thức số (4)

Thay x = 99 vào biểu thức, ta được: (99 + 1)³ = 100³ = 1 000 000.

Vậy với x = 99 thì giá trị biểu thức bằng 1 000 000.

Bài 37 trang 17 Toán 8 Tập 1: Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu):

Lời giải

Ta có:

+) (x – y)(x² + xy + y²) = x³ – y³ (hằng đẳng thức số (7));

+) (x + y)(x – y) = x² – y² (hằng đẳng thức số (3));

+) x² – 2xy + y² = (x – y)² = (y – x)² (hằng đẳng thức số (2));

+) (x + y)² = x² + 2xy + y² (hằng đẳng thức số (1));

+) (x + y)(x² – xy + y²) = x³ + y³ (hằng đẳng thức số (6));

+) y³ + 3xy² + 3x²y + x³ = (y + x)³ = (x + y)³ (hằng đẳng thức số (4));

+) (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³ (hằng đẳng thức số (5)).

Do đó ta có bảng sau:

Bài 38 trang 18 Toán 8 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a – b)³ = -(b – a)³

b) (-a – b)² = (a + b)²

Lời giải:

a) Ta có: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³;

- (b – a)³ = - ( b³ – 3b²a + 3ba² – a³)

= -b³ + 3ab² – 3a²b + a³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Vậy (a – b)­³ = - (b – a)³.

b) Ta có: (-a – b)² = (-a)² – 2.(-a).b + b²

= a² + 2ab + b² = (a + b)².

Vậy (-a – b)² = (a + b)³.

Bài giảng Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)