Chứng minh rằng: a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)

Giải Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

Video Giải Bài 31 trang 16 SGK Toán 8 Tập 1

Bài 31 trang 16 SGK Toán 8 Tập 1:Chứng minh rằng:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a³ + b³, biết a.b = 6 và a + b = -5

*Phương pháp giải

Lập phương của một tổng:

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Lập phương của một hiệu:

${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

*Lời giải:

a) Biến đổi vế phải ta được:

(a + b)³ – 3ab(a + b)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab²

= a³ + b³

Vậy a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) Biến đổi vế phải ta được:

(a – b)³ + 3ab(a – b)

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + 3a²b – 3ab²

= a³ – b³

Vậy a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

– Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta được:

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

= (–5)³ – 3.6.(–5) = –5³ + 3.6.5

= –125 + 90 = –35