Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Mục lục Giải Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Video giải Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (P1)

Video giải Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (P2)

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 41 Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức $\frac{2}{6x^{2}yz}$ và $\frac{5}{4x{y}^3}$. Có thể chọn mẫu thức chung là 12x² y³z hoặc 24x³ y⁴z hay không ? Nếu được thì mẫu thức chung nào đơn giản hơn?

Lời giải

Vì 12x² y³z chia hết cho đa thức 6x²yz và 4xy³ nên có thể chọn mẫu thức chung là 12x²y³z.

Vì 24x³ y⁴z chia hết cho đa thức 6x²yz và 4xy³ nên có thể chọn mẫu thức chung là 24x³y⁴z.

Vậy có thể chọn cả hai biểu thức 12x² y³z hoặc 24x³ y⁴z làm mẫu thức chung. Trong đó, mẫu thức chung là 12x²y³z đơn giản hơn.

Câu hỏi 2 trang 42 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức hai phân thức: $\frac{3}{x^2-5x}$ và $\frac{5}{2x-10}.$

Lời giải

Ta có: x² - 5x = x(x - 5)

Và 2x - 10 = 2(x - 5)

Suy ra mẫu thức chung là: 2x(x-5).

Vì 2x(x – 5) = 2.[x(x – 5)] nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với 2:

$\frac{3}{x^2-5x}=\frac{3}{x\left(x-5\right)}=\frac{3.2}{x\left(x-5\right).2}=\frac{6}{2x\left(x-5\right)}.$

Vì 2x(x - 5) = x.2(x - 5) = x.(2x – 10) nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x:

$\frac{5}{2x-10}=\frac{5.x}{\left(2x-10\right).x}=\frac{5x}{2x\left(x-5\right)}.$

Câu hỏi 3 trang 43 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức hai phân thức: $\frac{3}{x^2-5x};\frac{-5}{10-2x}.$

Lời giải

Ta có: $\frac{-5}{10-2x}=\frac{5}{2x-10}.$

Xét: x² – 5x = x(x – 5);

Và 2x – 10 = 2(x – 5)

Do đó mẫu thức chung là: 2x(x - 5)

Vì 2x(x - 5) = 2.x(x - 5) = 2.(x² - 5x) nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với 2:

$\frac{3}{x^2-5x}=\frac{3}{x\left(x-5\right)}=\frac{3.2}{x\left(x-5\right).2}=\frac{6}{2x\left(x-5\right)}.$

Vì 2x(x - 5) = x.2(x - 5) = x.(2x – 10) nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x:

$\frac{-5}{10-2x}=\frac{5}{2x-10}=\frac{5.x}{\left(2x-10\right).x}=\frac{5x}{2x\left(x-5\right)}.$

Bài tập

Bài 14 trang 43 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{5}{x^5{y}^3},\frac{7}{12x^3{y}^4};$

b) $\frac{4}{15x^3{y}^5},\frac{11}{12x^4{y}^2}.$

Lời giải

a) Mẫu thức chung là: 12x⁵y⁴.

Vì 12x⁵y⁴ = x⁵y³.12y nên ta phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với 12y:

$\frac{5}{x^5{y}^3}=\frac{5.12y}{x^5{y}^3.12y}=\frac{60y}{12x^5{y}^4}.$

Vì 12x⁵y⁴ = 12x³y⁴.x² nên ta phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với x²:

$\frac{7}{12x^3{y}^4}=\frac{7.x^2}{12x^3{y}^4.x^2}=\frac{7x^2}{12x^5{y}^4}.$

b) Mẫu chung: 60x⁴y⁵.

Vì 60x⁴y⁵ = 15x³y⁵.4x nên ta phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với 4x:

$\frac{4}{15x^3{y}^5}=\frac{4.4x}{15x^3{y}^5.4x}=\frac{16x}{60x^4{y}^5}.$

Vì 60x⁴y⁵ = 12x⁴y².5y³ nên ta phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với 5y³:

$\frac{11}{12x^4{y}^2}=\frac{11.5y^3}{12x^4{y}^2.5y^3}=\frac{55y^3}{60x^4{y}^5}.$

Bài 15 trang 43 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{5}{2x+6},\frac{3}{x^2-9};$

b) $\frac{2x}{x^2-8x+16},\frac{x}{3x^2-12x}.$

Lời giải

a) Ta có: 2x + 6 = 2(x + 3) và x² – 9 = (x – 3)(x + 3).

Mẫu thức chung: 2(x + 3)(x – 3).

Vì 2(x + 3)(x – 3) = 2(x + 3).(x – 3) nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với x – 3:

$\frac{5}{2x+6}=\frac{5.\left(x-3\right)}{\left(2x+6\right).\left(x-3\right)}$

$=\frac{5x-15}{2\left(x+3\right)\left(x-3\right)}.$

Vì 2(x + 3)(x – 3) = 2(x + 3).(x – 3) = 2(x² – 9) nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với 2:

$\frac{3}{x^2-9}=\frac{3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$=\frac{3.2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right).2}=\frac{6}{2\left(x-3\right)\left(x+3\right)}.$

b) Ta có: x² – 8x + 16 = x² – 2.x.4 + 4² = (x - 4)²;

3x² – 12x = 3x(x – 4);

Khi đó mẫu thức chung là: 3x(x – 4)².

Vì 3x(x – 4)² = 3x.(x – 4)² nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với 3x:

$\frac{2x}{x^2-8x+16}=\frac{2x}{{\left(x-4\right)}^2}$

$=\frac{2x.3x}{3x.{\left(x-4\right)}^2}=\frac{6x^2}{3x.{\left(x-4\right)}^2}.$

Vì 3x(x – 4)² = [3x.(x – 4)].(x – 4) nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với x – 4:

$\frac{x}{3x^2-12x}=\frac{x}{3x\left(x-4\right)}$

$=\frac{x\left(x-4\right)}{3x\left(x-4\right)\left(x-4\right)}=\frac{x^2-4x}{3x{\left(x-4\right)}^2}.$

Bài 16 trang 43 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn):

a) $\frac{4x^2-3x+5}{x^3-1},\frac{1-2x}{x^2+x+1},-2;$

b) $\frac{10}{x+2},\frac{5}{2x-4},\frac{1}{6-3x}.$

Lời giải

a) Ta có: x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1);

Do đó mẫu thức chung của cả ba phân thức này là (x – 1)(x² + x + 1).

Vì phân thức đầu tiên có mẫu là mẫu chung rồi nên không cần quy đồng.

$\frac{4x^2-3x+5}{x^3-1}=\frac{4x^2-3x+5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}.$

Vì x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1) nên ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x – 1:

$\frac{1-2x}{x^2+x+1}=\frac{\left(1-2x\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{x-1-2x^2+2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-2x^2+3x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}.$

Vì x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1).1 nên ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với (x – 1)(x² + x + 1):

$-2=\frac{-2\left(x–1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x–1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-2\left(x^3–1^3\right)}{\left(x–1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-2x^3+2}{\left(x–1\right)\left(x^2+x+1\right)}.$

b) Ta có: 2x – 4 = 2(x – 2);

6 – 3x = 3(2 – x) = -3(x – 2);

Suy ra mẫu chung là: -6(x – 2)(x + 2).

Vì -6(x – 2)(x + 2) = (x + 2).[-6(x – 2)] nên ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với -6(x – 2):

$\frac{10}{x+2}=\frac{10.(-6)(x-2)}{(-6)(x-2)\left(x+2\right)}$

$=\frac{-60x+120}{-6(x-2)\left(x+2\right)}$.

Vì -6(x – 2)(x + 2) = 2(x – 2).[(-3)(x + 2)] nên ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với (-3)(x + 2):

$\frac{5}{2x-4}=\frac{5}{2\left(x-2\right)}$

$=\frac{5.(-3).\left(x+2\right)}{2\left(x-2\right).(-3).\left(x+2\right)}$

$=\frac{-15x-30}{-6\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$.

Vì -6(x – 2)(x + 2) = 2(x – 2).[(-3)(x + 2)] nên ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với (-3)(x + 2):

$\frac{1}{6-3x}=\frac{1}{\left(-3\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{\mathrm{1.2.}\left(x+2\right)}{\left(-3\right)\left(x-2\right)2.\left(x+2\right)}$

$=\frac{2x+4}{\left(-6\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$.

Bài 17 trang 43 Toán 8 Tập 1: Đố. Cho hai phân thức: $\frac{5x^2}{x^3-6x^2};\frac{3x^2+18x}{x^2-36}.$

Khi quy đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn MTC = x²(x – 6)(x + 6), còn bạn Lan bảo rằng: "Quá đơn giản! MTC = x – 6". Đố em biết bạn nào đúng?

Lời giải:

Cả hai bạn đều làm đúng.

- Bạn Tuấn trực tiếp đi tìm mẫu thức chung theo quy tắc:

x³ – 6x² = x²(x – 6)

x² – 36 = x² – 6² = (x – 6)(x + 6)

Khi đó: MTC = x²(x – 6)(x + 6).

- Bạn Lan rút gọn phân thức trước khi đi tìm mẫu thức chung:

$\frac{5x^2}{x^3-6x^2}=\frac{5x^2}{x^2\left(x-6\right)}=\frac{5}{x-6}.$

$\frac{3x^2+18x}{x^2-36}=\frac{3x\left(x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}=\frac{3x}{x-6}.$

Khi đó MTC = x – 6

* Nhận xét: Dù mẫu thức chung của cả hai bạn đưa ra đều đúng, nhưng rõ ràng ta nhận thấy MTC của bạn Lan ngắn gọn và dễ dàng quy đồng các phân thức hơn là MTC của bạn Tuấn. Do đó nếu như phân thức chưa tối giản thì ta nên ưu tiên rút gọn từng phân thức trước sau đó mới thực hiện quy đồng mẫu các phân thức.

Bài giảng Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức