Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Mục lục Giải Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Video giải Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp (P1)

Video giải Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp (P2)

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Phân tích đa thức 2x³y – 2xy³ – 4xy² – 2xy thành nhân tử.

Lời giải

2x³y – 2xy³ – 4xy² – 2xy

= 2xy(x² - y² - 2y - 1)

= 2xy[x² - (y² + 2y + 1)]

= 2xy[x² - (y + 1)² ]

= 2xy(x + y + 1)(x - y - 1)

Câu hỏi 2 trang 23 Toán 8 Tập 1:

a) Tính nhanh x² + 2x + 1 - y² tại x = 94,5 và y = 4,5.

b) Khi phân tích đa thức x² + 4x – 2xy – 4y + y² thành nhân tử, bạn Việt làm như sau:

x² + 4x – 2xy – 4y + y² 

= (x² - 2xy + y²) + (4x – 4y)

= (x - y)² + 4(x – y)

= (x – y)(x – y + 4).

Em hãy chỉ rõ trong cách làm trên, bạn Việt đã sử dụng những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải

a) x² + 2x + 1 - y² = (x + 1)² – y² 

= (x + y + 1)(x – y + 1)

Thay x = 94,5 và y = 4,5 ta có:

(x + y + 1)(x - y + 1)

= (94,5 + 4,5 + 1)(94,5 - 4,5 + 1)

= 100.91

= 9 100.

Vậy với x = 94,5 và y = 4,5 thì giá trị của biểu thức là 9100.

b) x² + 4x – 2xy – 4y + y² = (x² - 2xy +  y²) + (4x – 4y) → bạn Việt dùng phương pháp nhóm hạng tử

= (x - y)² + 4(x – y) → bạn Việt dùng phương pháp dùng hằng đẳng thức cho ngoặc đầu tiên và đặt nhân tử chung cho ngoặc còn lại.

= (x – y)(x – y + 4) → bạn Việt dùng phương pháp đặt nhân tử chung

Bài tập

Bài 51 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ – 2x² + x.

b) 2x² + 4x + 2 – 2y²

c) 2xy – x² – y² + 16

Lời giải:

a) x³ – 2x² + x

= x.x² – x.2x + x ( nhân tử chung là x)

= x(x² – 2x + 1) ( biểu thức ở trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức (2))

= x(x – 1)².

b) 2x² + 4x + 2 – 2y² (có nhân tử chung là 2)

= 2.(x² + 2x + 1 – y²) (biểu thức ở trong ngoặc xuất hiện x² + 2x + 1 là hằng đẳng thức)

= 2[(x² + 2x + 1) – y²]

= 2[(x + 1)² – y²] (biểu thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức (3))

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y).

c) 2xy – x² – y² + 16

= 16 – x² + 2xy – y²

= 16 – (x² – 2xy + y²) (biểu thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức số (2))

= 4² – (x – y)² (xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= [4 – (x – y)][4 + (x - y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)² – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Lời giải

Ta có:

(5n + 2)² – 4

= (5n + 2)² – 2²

= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 với mọi số nguyên n.

Vậy (5n + 2)² – 4 luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Bài 53 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 3x + 2

b) x² + x – 6

c) x² + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x² – 3x + 2 = x² – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x² – 3x + 2 = x² – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

Lời giải:

a) Cách 1: x² – 3x + 2

= x² – x – 2x + 2 (Tách –3x = – x – 2x)

= (x² – x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1) (Có x – 1 là nhân tử chung)

= (x – 1)(x – 2)

Cách 2: x² – 3x + 2

= x² – 3x – 4 + 6 (Tách 2 = – 4 + 6)

= x² – 4 – 3x + 6

= (x² – 2²) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2)

(Xuất hiện nhân tử chung x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 3)

= (x – 2)(x – 1).

Cách 3: x² – 3x + 2

$=x^2-2.x.\frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

(thêm bớt hạng tử ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2$ để tạo thành hằng đẳng thức)

$=\left.x^2-2.x.\frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\right]+2-\frac{9}{4}={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{8}{4}-\frac{9}{4}\begin{array}{l}={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\\ ={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ =\left(x-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right).\left(x-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)\\ =\left(x-2\right).\left(x-1\right)\end{array}$

b) Cách 1: x² + x – 6

= x² + 3x – 2x – 6 (Tách x = 3x – 2x)

= x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + 3 là nhân tử chung)

= (x + 3)(x – 2)

Cách 2: x² + x – 6

$\begin{array}{l}=x^2+2x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ ={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-6-\frac{1}{4}\\ ={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{25}{4}\\ ={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2\\ =\left(x+\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right).\left(x+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\right)\\ =\left(x-2\right).\left(x+3\right)\end{array}$

c) Cách 1: x² + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x² + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + 2 là nhân tử chung)

= (x + 2)(x + 3)

Cách 2: x² + 5x + 6

$\begin{array}{l}=x^2+2.x.\frac{5}{2}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+6-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2\\ ={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2+6-\frac{25}{4}\\ ={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\\ ={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ =\left(x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\right)\\ =\left(x+2\right)\left(x+3\right)\end{array}$

Bài 54 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ + 2x²y + xy² – 9x

b) 2x – 2y – x² + 2xy – y²

c) x⁴ – 2x²

Lời giải:

a) x³ + 2x²y + xy² – 9x (Có x là nhân tử chung)

= x(x² + 2xy + y² – 9)

(biểu thức trong ngoặc có x² + 2xy + y² là hằng đẳng thức số (1))

= x[(x² + 2xy + y²) – 9]

= x[(x + y)² – 3²]

(biểu thức trong ngoặc xuất hiện hằng đẳng thức (3)]

= x(x + y – 3)(x + y + 3)

b) 2x – 2y – x² + 2xy – y²

(Có x² ; 2xy ; y² ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= (2x – 2y) – (x² – 2xy + y²)

= 2(x – y) – (x – y)² (Có x – y là nhân tử chung)

= (x – y)[2 – (x – y)]

= (x – y)(2 – x + y)

c) x⁴ – 2x² (Có x² là nhân tử chung)

= x²(x² – 2)

$=x^2\left.x^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right]$ 

(biểu thức trong ngoặc vuông là hằng đẳng thức số (3))

$=x^2\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right).$

Bài 55 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:

a) $x^3-\frac{1}{4}x=0;$

b) (2x – 1)² – (x + 3)² = 0;

c) x²(x – 3) + 12 – 4x = 0.

Lời giải:

a) $x^3-\frac{1}{4}x=0$

$\iff x\left(x^2-\frac{1}{4}\right)=0$

$\iff x\left.x^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]=0$ 

(biểu thức bên trong ngoặc vuông có dạng hằng đẳng thức số (3)).

$\iff x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0\iff \begin{array}{l}x=0\\ x-\frac{1}{2}=0\\ x+\frac{1}{2}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1}{2}\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy $x\in \left.-\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right\}$.

b) Ta có: (2x – 1)² – (x + 3)² =0 (xuất hiện HĐT (3))

⇔ [(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = 0

⇔ (2x – 1 – x – 3).(2x – 1 + x + 3) = 0

⇔ (x – 4)(3x + 2) = 0

$\iff \begin{array}{l}x-4=0\\ 3x+2=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=4\\ x=-\frac{2}{3}\end{array}$

Vậy $x\in \left.4;-\frac{2}{3}\right\}$.

c) x²(x – 3) + 12 – 4x

⇔ x²(x – 3) – 4.(x – 3) = 0 (Có nhân tử chung là x – 3)

⇔ (x² – 4)(x – 3) = 0

⇔ (x² – 2²).(x – 3) = 0 (biểu thức trong ngoặc đầu tiên xuất hiện HĐT (3))

⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0

$\iff \begin{array}{l}x=2\\ x=-2\\ x=3\end{array}$

Vậy x = 2 hoặc x = –2 hoặc x = 3.

Bài 56 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh giá trị của đa thức:

a) $x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$ tại x = 49,75.

b) x² – y² – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.

Lời giải:

a) Ta có: $x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$

$=x^2+2.x\frac{1}{4}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2$

$={\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2.$

Thay $x=49,75=49\frac{3}{4}$ vào biểu thức trên, ta được:

${\left(49\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)}^2={\left(49+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)}^2={\left(49+1\right)}^2={50}^2=2500.$

Vậy giá trị của biểu thức là 2 500 tại x = 49,75.

b) Ta có: x² – y² – 2y – 1

(Thấy có y² ; 2y ; 1 ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= x² – (y² + 2y + 1)

= x² – (y + 1)² (Xuất hiện HĐT (3))

= (x – y – 1)(x + y + 1)

Thay x = 93, y = 6 vào biểu thức trên, ta được:

(93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600.

Vậy với x = 93, y = 6 thì giá trị biểu thức là 8 600.

Bài 57 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 4x + 3;        

b) x² + 5x + 4;

c) x² – x – 6;        

d) x⁴ + 4.

(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x² vào đa thức đã cho)

Lời giải:

a) Cách 1: x² – 4x + 3

= x² – x – 3x + 3

(Tách –4x = –x – 3x)

= x(x – 1) – 3(x – 1)

(Có x – 1 là nhân tử chung)

= (x – 1)(x – 3)

Cách 2: x² – 4x + 3

= x² – 2.x.2 + 2² + 3 – 2²

(Thêm bớt 2² để có HĐT (2))

= (x – 2)² – 1

(Xuất hiện HĐT (3))

= (x – 2 – 1)(x – 2 + 1)

= (x – 3)(x – 1)

b) Cách 1: x² + 5x + 4

= x² + x + 4x + 4

(Tách 5x = x + 4x)

= x(x + 1) + 4(x + 1)

(có x + 1 là nhân tử chung)

= (x + 1)(x + 4)

Cách 2:

$=x^2+2.x.\frac{5}{2}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+4-\frac{25}{4}={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\left(x+\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\right)=\left(x+1\right)\left(x+4\right)$

c) Cách 1: x² – x – 6

= x² + 2x – 3x – 6 (Tách –x = 2x – 3x)

= x(x + 2) – 3(x + 2) (có x + 2 là nhân tử chung)

= (x – 3)(x + 2)

Cách 2: x² – x – 6

$=x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6-\frac{1}{4}={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{25}{4}={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\left(x-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\right)=\left(x-3\right)\left(x+2\right)$

d) x⁴ + 4

= (x²)² + 2²

= x⁴ + 2.x².2 + 4 – 4x² (Thêm bớt 2.x².2 để có HĐT (1))

= (x² + 2)² – (2x)² (Xuất hiện HĐT (3))

= (x² + 2 – 2x)(x² + 2 + 2x)

Bài 58 trang 25 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

A = n³ – n (có nhân tử chung n)

= n(n² – 1) (Xuất hiện HĐT (3))

= n(n – 1)(n + 1)

+) Nếu n chẵn $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2$

Nếu n lẻ thì n + 1 là số chẵn $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2$

 Do đó A chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n (1).

+) Nếu n chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$.

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + 1 $\left(k\in ℝ\right)$ $\Rightarrow$n – 1 = 3k $\left(k\in ℝ\right)$ chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$

Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n = 3k + 2 $\left(k\in ℝ\right)$ $\Rightarrow$n – 2 = 3k $\left(k\in ℝ\right)$ chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$

Do đó A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n (2).

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.

Vậy A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.

Bài giảng Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp