Chứng minh rằng n^3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Giải Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Video Giải Bài 58 trang 25 Toán 8 Tập 1

Bài 58 trang 25 Toán 8 Tập 1:

Lời giải:

A = n³ – n (có nhân tử chung n)

= n(n² – 1) (Xuất hiện HĐT (3))

= n(n – 1)(n + 1)

+) Nếu n chẵn $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2$

Nếu n lẻ thì n + 1 là số chẵn $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2$

 Do đó A chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n (1).

+) Nếu n chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$.

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + 1 $\left(k\in ℝ\right)$ $\Rightarrow$n – 1 = 3k $\left(k\in ℝ\right)$ chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$

Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n = 3k + 2 $\left(k\in ℝ\right)$ $\Rightarrow$n – 2 = 3k $\left(k\in ℝ\right)$ chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$

Do đó A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n (2).

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.

Vậy A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.