Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức

Mục lục Giải Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức

Video giải Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức (P1)

Video giải Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức (P2)

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 38 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức $\frac{4x^3}{10x^{2}y}.$

a) Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu;

b) Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải

a) Ta có: 4x³ = 2.2.x².x = (2x²).(2x)

10x²y = 2.5.x².y = (2x²).(5y)

Vậy nhân tử chung của cả tử và mẫu là: 2x².

b) Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung 2x² ta được:

$\frac{4x^3}{10x^{2}y}=\frac{4x^3:2x^2}{10x^{2}y:2x^2}=\frac{2x}{5y}.$

Câu hỏi 2 trang 39 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức $\frac{5x+10}{25x^2+50x}.$

a) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử rồi tìm nhân tử chung của chúng.

b) Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải

a) Ta có: 5x + 10 = 5.(x + 2);

25x² + 50x = 25x(x + 2) = 5x.5(x + 2).

Vậy nhân tử chung của tử và mẫu là: 5(x + 2).

b) Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung 5(x + 2), ta được:

$\frac{5x+10}{25x^2+50x}=\frac{\left(5x+10\right):5\left(x+2\right)}{\left(25x^2+50x\right):5\left(x+2\right)}$

$=\frac{\left.5\left(x+2\right)\right]:5\left(x+2\right)}{\left.5x.5\left(x+2\right)\right]:5\left(x+2\right)}=\frac{1}{5x}.$

Câu hỏi 3 trang 39 Toán 8 Tập 1: Rút gọn phân thức $\frac{x^2+2x+1}{5x^3+5x^2}$.

Lời giải

Ta có: $\frac{x^2+2x+1}{5x^3+5x^2}=\frac{{\left(x+1\right)}^2}{5x^2\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{5x}.$

Câu hỏi 4 trang 39 Toán 8 Tập 1: Rút gọn phân thức $\frac{3\left(x-y\right)}{y-x}.$

Lời giải

Ta có: $\frac{3\left(x-y\right)}{y-x}=\frac{-3\left(y-x\right)}{y-x}=-3.$

Bài tập

Bài 7 trang 39 Toán 8 Tập 1: Rút gọn phân thức:

a)$\frac{6x^2{y}^2}{8x{y}^5};$

b)$\frac{10x{y}^2\left(x+y\right)}{15xy{\left(x+y\right)}^3};$

c)$\frac{2x^2+2x}{x+1};$

d)$\frac{x^2-xy-x+y}{x^2+xy-x-y}.$

Lời giải

a)$\frac{6x^2{y}^2}{8x{y}^5}=\frac{2x{y}^2.3x}{2x{y}^2.4y^3}=\frac{3x}{4y^3}.$

b)$\frac{10x{y}^2\left(x+y\right)}{15xy\left(x+y\right)}=\frac{5xy.2y\left(x+y\right)}{5xy\mathrm{.3.}{\left(x+y\right)}^3}=\frac{2y}{3{(x+y)}^2}.$

c)$\frac{2x^2+2x}{x+1}=\frac{2x\left(x+1\right)}{x+1}=\frac{2x}{1}=2x.$

d)$\frac{x^2-xy-x+y}{x^2+xy-x-y}=\frac{\left(x^2-xy\right)+\left(-x+y\right)}{\left(x^2+xy\right)+\left(-x-y\right)}$

$=\frac{x\left(x-y\right)-\left(x-y\right)}{x\left(x+y\right)-\left(x+y\right)}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x-y\right)}{\left(x-1\right)\left(x+y\right)}=\frac{x-y}{x+y}.$

Bài 8 trang 40 Toán 8 Tập 1: Trong tờ nháp của một bạn có ghi một số phép rút gọn phân thức như sau:

a)$\frac{3xy}{9y}=\frac{x}{3};$

b)$\frac{3xy+3}{9y+3}=\frac{x}{3};$

c)$\frac{3xy+3}{9y+9}=\frac{x+1}{3+3}=\frac{x+1}{6};$

d)$\frac{3xy+3x}{9y+9}=\frac{x}{3}.$

Theo em câu nào đúng, câu nào sai? Em hãy giải thích.

Lời giải

a) Ta có:$\frac{3xy}{9y}=\frac{3xy}{3.3y}=\frac{x.3y}{3.3y}=\frac{x}{3}.$

Do đó $\frac{3xy}{9y}=\frac{x}{3}$ đúng.

b) Ý này bạn rút gọn sai vì ta không được phép rút gọn các số hạng của tổng này cho số hạng của tổng kia mà phải đưa về thành tích rồi rút gọn các thừa số chung.

Ta có:$\frac{3xy+3}{9y+3}=\frac{3\left(xy+1\right)}{3\left(3y+1\right)}=\frac{xy+1}{3y+1}.$

c) Ý này bạn rút gọn sai vì ta không được phép rút gọn các số hạng của tổng này cho số hạng của tổng kia mà phải đưa về thành tích rồi rút gọn các thừa số chung.

Ta cần sửa lại như sau: $\frac{3xy+3}{9y+9}=\frac{3\left(xy+1\right)}{9\left(y+1\right)}=\frac{xy+1}{3\left(y+1\right)}$

d) Ta có:$\frac{3xy+3x}{9y+9}=\frac{3x\left(y+1\right)}{9\left(y+1\right)}=\frac{3x}{9}=\frac{3x}{3.3}=\frac{x}{3}.$

Do đó$\frac{3xy+3x}{9y+9}=\frac{x}{3}.$

Vậy ví dụ này cùa bạn là đúng.

Bài 9 trang 40 Toán 8 Tập 1: Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:

a)$\frac{36{\left(x-2\right)}^3}{32-16x};$

b)$\frac{x^2-xy}{5y^2-5xy}.$

Lời giải

a) Ta có: 

$\frac{36{\left(x-2\right)}^3}{32-16x}=\frac{36{\left(x-2\right)}^3}{16\left(2-x\right)}=\frac{36{\left(x-2\right)}^3}{-16\left(x-2\right)}=\frac{9.4{\left(x-2\right)}^3}{-4.4\left(x-2\right)}=\frac{9{\left(x-2\right)}^2}{-4}.$

b) Ta có:

$\frac{x^2-xy}{5y^2-5xy}=\frac{x\left(x-y\right)}{5y\left(y-x\right)}=\frac{x\left(x-y\right)}{-5y\left(x-y\right)}=-\frac{x}{5y}.$

Bài 10 trang 40 Toán 8 Tập 1:Đố. Đố em rút gọn được phân thức: $\frac{x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2-1}.$

Lời giải

Xét tử: x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1

= (x⁷ + x⁶) + (x⁵ + x⁴) + (x³ + x²) + (x + 1)

= x⁶(x + 1) + x⁴(x + 1) + x²(x + 1) + (x + 1)

= (x + 1)(x⁶ + x⁴ + x² + 1).

Xét mẫu: x² – 1 = (x – 1)(x + 1).

Khi đó, ta có: 

$\frac{x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2-1}$

$=\frac{\left(x+1\right)\left(x^6+x^4+x^2+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{x^6+x^4+x^2+1}{x+1}.$

Bài 11 trang 40 Toán 8 Tập 1: Rút gọn phân thức:

a)$\frac{12x^3{y}^2}{18x{y}^5};$

b)$\frac{15x{\left(x+5\right)}^3}{20x^2\left(x+5\right)}.$

Lời giải

a) Ta có: $\frac{12x^3{y}^2}{18x{y}^5}=\frac{6x{y}^2.2x^2}{6x{y}^2.3y^3}=\frac{2x^2}{3y^3}.$

b) Ta có:

$\frac{15x{\left(x+5\right)}^3}{20x^2\left(x+5\right)}$

$=\frac{5x\left(x+5\right).3{\left(x+5\right)}^2}{5x\left(x+5\right).4x}$

$=\frac{3{\left(x+5\right)}^2}{4x}.$

Bài 12 trang 40 Toán 8 Tập 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn phân thức:

a)$\frac{3x^2-12x+12}{x^4-8x};$

b)$\frac{7x^2+14x+7}{3x^2+3x}.$

Lời giải

a) Ta có: 3x² – 12x + 12 = 3(x² – 4x + 4) =3(x – 2)².

Và x⁴ – 8x = x(x³ – 8) = x(x³ – 2³)

= x(x – 2)(x² + 2x + 4).

Khi đó, ta có:

$\frac{3x^2-12x+12}{x^4-8x}$

$=\frac{3{\left(x-2\right)}^2}{x(x-2)(x^2+2x+4)}$

$=\frac{3\left(x-2\right)}{x(x^2+2x+4)}.$

b) Ta có: 7x² + 14x + 7 = 7(x² + 2x + 1) = 7(x + 1)².

Và 3x² + 3x = 3x(x + 1).

Khi đó, ta có: $\frac{7x^2+14x+7}{3x^2+3x}=\frac{7{\left(x+1\right)}^2}{3x\left(x+1\right)}=\frac{7\left(x+1\right)}{3x}$

Bài 13 trang 40 Toán 8 Tập 1: Áp dụng quy tắc đổi dầu rồi rút gọn phân thức:

a)$\frac{45x\left(3-x\right)}{15x{\left(x-3\right)}^3};$

b)$\frac{y^2-x^2}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3}.$

Lời giải

a)$\frac{45x\left(3-x\right)}{15x{\left(x-3\right)}^3}=\frac{-45x\left(x-3\right)}{15x{\left(x-3\right)}^3}$

$=\frac{-3.15x\left(x-3\right)}{15x{\left(x-3\right)}^3}=\frac{-3}{{\left(x-3\right)}^2}.$

b)$\frac{y^2-x^2}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3}=\frac{\left(y-x\right).\left(y+x\right)}{{\left(x-y\right)}^3}$

$=\frac{-\left(x-y\right).\left(y+x\right)}{{\left(x-y\right)}^3}=\frac{-\left(x+y\right)}{{\left(x-y\right)}^2}.$

Bài giảng Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức