Toán 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

Mục lục Giải Toán 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

Video giải Toán 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 37 Toán 8 Tập 1: Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số.

Lời giải

Tính chất cơ bản của phân số:

+) Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với một số nguyên khác 0 ta được một phân số mới bằng với phân số đã cho:

$\frac{a}{b}=\frac{a.m}{b.m}$ (với $a,b,m\in \mathbb{Z},b\ne 0,m\ne 0$).

+) Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng ta được một phân số mới bằng với phân số đã cho:

$\frac{a}{b}=\frac{a:m}{b:m}$(với $a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0,m\in$ƯC(a, b)).

Câu hỏi 2 trang 37 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức $\frac{x}{3}$. Hãy nhân tử và mẫu của phân thức này với x + 2 rồi so sánh phân thức vừa nhận được với phân thức đã cho.

Lời giải

Nhân tử và mẫu của phân thức $\frac{x}{3}$ với x + 2, ta được: $\frac{x}{3}=\frac{x\left(x+2\right)}{3\left(x+2\right)}=\frac{x^2+2x}{3x+6}.$

Phân số mới là: $\frac{x^2+2x}{3x+6}$.

So sánh $\frac{x}{3}$ với $\frac{x^2+2x}{3x+6}$

Ta có: 3(x² + 2x) = 3x² + 6x và x(3x + 6) = 3x² + 6x.

Suy ra: 3(x² + 2x) = x(3x + 6).

Do đó $\frac{x^2+2x}{3x+6}=\frac{x}{3}.$

Câu hỏi 3 trang 37 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức $\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}.$ Hãy chia cả tử và mẫu của phân thức này cho 3xy rồi so sánh với phân thức vừa nhận được với phân thức đã cho.

Lời giải

Chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}$ cho 3xy, ta được:

$\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}=\frac{3x^{2}y:3xy}{6x{y}^3:3xy}=\frac{x}{2y^2}.$

Phân thức vừa nhận được là: $\frac{x}{2y^2}.$

So sánh $\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}$ và $\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}$

Ta có: 3x²y.2y² = 6x²y³ và 6xy³.x = 6x²y³.

Suy ra 3x²y.2y² = 6xy³.x.

Do đó $\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}=\frac{x}{2y^2}.$

Câu hỏi 4 trang 37 Toán 8 Tập 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:

a) $\frac{2x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{2x}{x+1};$

b) $\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}.$

Lời giải

a) Ta chia cả tử và mẫu của phân số $\frac{2x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ cho đa thức x – 1, ta được: $\frac{2x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{2x\left(x-1\right):\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right):\left(x-1\right)}=\frac{2x}{x+1}$

Theo tính chất cơ bản của phân số, ta có phân thức mới bằng phân thức đã cho nên $\frac{2x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{2x}{x+1}.$

b) Ta chia cả tử và mẫu của phân số $\frac{A}{B}$ với số (-1), ta được: $\frac{A}{B}=\frac{A:(-1)}{B:(-1)}=\frac{-A}{-B}.$

Theo tính chất cơ bản của phân số, ta có phân thức mới bằng với phân thức đã cho nên $\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}.$

Câu hỏi 5 trang 38 Toán 8 Tập 1: Dùng quy tắc đổi dấu hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

Lời giải

a) Áp dụng quy tắc đổi dấu, ta có:$\frac{y-x}{4-x}=\frac{-\left(y-x\right)}{-\left(4-x\right)}=\frac{x-y}{x-4}$

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là: x – 4.

b) Ta có: $\frac{5-x}{11-x^2}=\frac{-\left(5-x\right)}{-\left(11-x^2\right)}=\frac{x-5}{x^2-11}.$

Vậy đa thức cần điền là x – 5.

Bài tập

Bài 4 trang 38 Toán 8 Tập 1:Cô giáo yêu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau. Dưới đây là những ví dụ mà các bạn Lan, Hùng, Giang, Huy đã cho:

$\frac{x+3}{2x-5}=\frac{x^2+3x}{2x^2-5x}$ (Lan);

$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+x}=\frac{x+1}{1}$ (Hùng);

$\frac{4-x}{-3x}=\frac{x-4}{3x}$ (Giang);

$\frac{{\left(x-9\right)}^3}{2\left(9-x\right)}=\frac{{\left(9-x\right)}^2}{2}$ (Huy).

Em hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức và qui tắc đổi dấu để giải thích ai viết đúng, ai viết sai. Nếu có chỗ nào sai em hãy sửa lại cho đúng.

Lời giải

+) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x+3}{2x-5}$ với x, ta được: $\frac{x+3}{2x-5}=\frac{\left(x+3\right).x}{\left(2x-5\right).x}=\frac{x^2+3x}{2x^2-5x}$

Theo tính chất cơ bản của phân thức ta có: $\frac{x+3}{2x-5}=\frac{x^2+3x}{2x^2-5x}$.

Do đó ví dụ của bạn Lan là đúng.

+) Chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+x}$ cho đa thức x + 1, ta được: $\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+x}=\frac{{\left(x+1\right)}^2:\left(x+1\right)}{\left(x^2+x\right):\left(x+1\right)}$

$=\frac{x+1}{\left.x\left(x+1\right)\right]:\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{x}$

Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có: $\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+x}=\frac{x+1}{x}$

Do đó ví dụ của bạn Hùng là sai và cần sửa lại thành $\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+x}=\frac{x+1}{x}$.

+) Áp dụng quy tắc đổi dấu, ta có: $\frac{4-x}{-3x}=\frac{-\left(x-4\right)}{-3x}=\frac{x-4}{3x}.$

Do đó ví dụ của bạn Giang là đúng.

+) Ta có: $\frac{{\left(x-9\right)}^3}{2\left(9-x\right)}=\frac{-{\left(9-x\right)}^3}{2\left(9-x\right)}$

Chia cả tử và mẫu của phân thức trên cho đa thức (9 – x), ta được: $\frac{{\left(x-9\right)}^3}{2\left(9-x\right)}=\frac{-{\left(9-x\right)}^3}{2\left(9-x\right)}$

$=\frac{-{\left(9-x\right)}^3:\left(9-x\right)}{2\left(9-x\right):(9-x)}=\frac{-{\left(9-x\right)}^2}{2}$

Theo tích chất cơ bản của phân thức, ta có: $\frac{{\left(x-9\right)}^3}{2\left(9-x\right)}=\frac{-{\left(9-x\right)}^2}{2}.$

Do đó ví dụ của bạn Huy sai và cần sửa lại thành $\frac{{\left(x-9\right)}^3}{2\left(9-x\right)}=\frac{-{\left(9-x\right)}^2}{2}.$

Bài 5 trang 38 Toán 8 Tập 1: Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong các đẳng thức sau:

Lời giải

a) Ta có: $\frac{x^3+x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

Chia cả tử và mẫu của phân thức x – 1, ta được:

$\frac{x^2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2\left(x+1\right):\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right):\left(x+1\right)}=\frac{x^2}{x-1}$

Suy ra đa thức cần điền vào chỗ chấm là x².

Vậy $\frac{x^3+x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2}{x-1}.$

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức với đa thức x – y, ta được: $\frac{5\left(x+y\right)}{2}=\frac{5\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{2\left(x-y\right)}$

$=\frac{5\left(x^2-y^2\right)}{2\left(x-y\right)}=\frac{5x^2-5y^2}{2\left(x-y\right)}.$

Suy ra đa thức cần điền vào chỗ chấm là 2(x – y).

Vậy $\frac{5\left(x+y\right)}{2}=\frac{5x^2-5y^2}{2\left(x-y\right)}.$

Lời giải

Ta có: x² – 1 = (x – 1)(x + 1)

Do đó ta cần chia cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất cho x – 1.

Mà ta có :

x⁵ – 1 = x⁵ – x⁴ + x⁴ – x³ + x³ – x² + x² – x + x – 1

= x⁴(x – 1) + x³(x – 1) + x²(x – 1) + x(x – 1) + (x – 1)

= (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)

Do đó:

$\frac{x^5-1}{x^2-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x+1}.$

Vậy đa thức cần điền là x⁴ + x³ + x² + x + 1.

Bài giảng Toán 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức