Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Mục lục Giải Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Video giải Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số (P1)

Video giải Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số (P2)

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 48 Toán 8 Tập 1:Làm tính cộng: $\frac{3x}{x+1}+\frac{-3x}{x+1}.$

Lời giải

$\frac{3x}{x+1}+\frac{-3x}{x+1}=\frac{3x+\left(-3x\right)}{x+1}$

$=\frac{3x-3x}{x+1}=\frac{0}{x+1}=0.$

Câu hỏi 2 trang 49 Toán 8 Tập 1: Tìm phân thức đối của $\frac{1-x}{x}.$

Lời giải

Phân thức đối của $\frac{1-x}{x}$ là: $-\frac{1-x}{x}=\frac{x-1}{x}.$

Vậy phân thức đối của $\frac{1-x}{x}$ là: $\frac{x-1}{x}.$

Câu hỏi 3 trang 49 Toán 8 Tập 1: Làm tính trừ phân thức: $\frac{x+3}{x^2-1}-\frac{x+1}{x^2-x}.$

Lời giải

$\frac{x+3}{x^2-1}-\frac{x+1}{x^2-x}=\frac{x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}=\frac{\left(x+3\right)x}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2+3x}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x^2+2x+1}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2+3x}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{-\left(x^2+2x+1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2+3x-x^2-2x-1}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x-1}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}.$

Câu hỏi 4 trang 49 Toán 8 Tập 1:Thực hiện phép tính: $\frac{x+2}{x-1}-\frac{x-9}{1-x}-\frac{x-9}{1-x}.$

Lời giải

$\frac{x+2}{x-1}-\frac{x-9}{1-x}-\frac{x-9}{1-x}$

$=\frac{x+2}{x-1}+\frac{x-9}{x-1}+\frac{x-9}{x-1}$ (áp dụng quy tắc đổi dấu)

$=\frac{x+2+x-9+x-9}{x-1}=\frac{3x-16}{x-1}.$

Bài tập

Bài 28 trang 49 Toán 8 Tập 1: Theo qui tắc đổi dấu ta có $\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}.$ Do đó ta cũng có $-\frac{A}{B}=\frac{A}{-B}.$ Chẳng hạn, phân thức đối của $\frac{4}{x+5}$ là $-\frac{4}{5-x}=\frac{4}{-\left(5-x\right)}=\frac{4}{x-5}.$ Áp dụng điều này hãy điền những phân thức thích hợp vào những chỗ trống dưới đây:

Lời giải

a) Ta có: $-\frac{x^2+2}{1-5x}=\frac{x^2+2}{-\left(1-5x\right)}=\frac{x^2+2}{5x-1};$ (sử dụng quy tắc đổi dấu)

Hoặc $-\frac{x^2+2}{1-5x}=\frac{-\left(x^2+2\right)}{1-5x}=\frac{-x^2-2}{1-5x};$

Vậy hai phân thức cần điền lần lượt là: $\frac{-x^2-2}{1-5x}$ và $\frac{x^2+2}{5x-1}$.

b) Ta có: $-\frac{4x+1}{5-x}=\frac{4x+1}{-\left(5-x\right)}\text{=}\frac{4x+1}{x-5}$(sử dụng quy tắc đổi dấu)

Vậy phân thức cần điền là $\frac{4x+1}{x-5}$.

Bài 29 trang 50 Toán 8 Tập 1: Làm tính trừ các phân thức sau:

a) $\frac{4x-1}{3x^{2}y}-\frac{7x-1}{3x^{2}y};$

b) $\frac{4x+5}{2x-1}-\frac{5-9x}{2x-1};$

c) $\frac{11x}{2x-3}-\frac{x-18}{3-2x};$

d) $\frac{2x-7}{10x-4}-\frac{3x+5}{4-10x}.$

Lời giải

a) $\frac{4x-1}{3x^{2}y}-\frac{7x-1}{3x^{2}y}$

$=\frac{4x-1}{3x^{2}y}+\frac{-\left(7x-1\right)}{3x^{2}y}=\frac{4x-1}{3x^{2}y}+\frac{-7x+1}{3x^{2}y}=\frac{4x-1-7x+1}{3x^{2}y}=\frac{-3x}{3x^{2}y}=\frac{-1}{xy}$

b) $\frac{4x+5}{2x-1}-\frac{5-9x}{2x-1}$

$=\frac{4x+5}{2x-1}+\frac{-\left(5-9x\right)}{2x-1}=\frac{4x+5}{2x-1}+\frac{-5+9x}{2x-1}=\frac{4x+5-5+9x}{2x-1}=\frac{13x}{2x-1}.$

c) $\frac{11x}{2x-3}-\frac{x-18}{3-2x}$

$=\frac{11x}{2x-3}+\frac{x-18}{2x-3}$ (Áp dụng quy tắc đổi dấu cho phân thức thứ hai)

$=\frac{11x+x-18}{2x-3}=\frac{12x-18}{2x-3}=\frac{6\left(2x-3\right)}{2x-3}=6.$

d) $\frac{2x-7}{10x-4}-\frac{3x+5}{4-10x}$

$=\frac{2x-7}{10x-4}+\frac{3x+5}{10x-4}$ (áp dụng quy tắc đổi dấu cho phân thức thứ hai)

$=\frac{2x-7+3x+5}{10x-4}=\frac{5x-2}{10x-4}=\frac{5x-2}{2.\left(5x-2\right)}=\frac{1}{2}.$

Bài 30 trang 50 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{3}{2x+6}-\frac{x-6}{2x^2+6x};$

b) $x^2+1-\frac{x^4-3x^2+2}{x^2-1}.$

Lời giải

a) $\frac{3}{2x+6}-\frac{x-6}{2x^2+6x}$

$=\frac{3}{2\left(x+3\right)}-\frac{x-6}{2x\left(x+3\right)}$(Phân tích mẫu thành nhân tử)

 $=\frac{3x}{2x\left(x+3\right)}-\frac{x-6}{2x\left(x+3\right)}$(Quy đồng mẫu hai phân thức với MTC là 2x(x + 3))

$=\frac{3x}{2x\left(x+3\right)}+\frac{-\left(x-6\right)}{2x\left(x+3\right)}=\frac{3x}{2x\left(x+3\right)}+\frac{-x+6}{2x\left(x+3\right)}=\frac{3x-x+6}{2x\left(x+3\right)}=\frac{2x+6}{2x\left(x+3\right)}=\frac{2\left(x+3\right)}{2x\left(x+3\right)}=\frac{1}{x}.$

b) $x^2+1-\frac{x^4-3x^2+2}{x^2-1}$

 $=\frac{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}{x^2-1}-\frac{x^4-3x^2+2}{x^2-1}$(Quy đồng mẫu hai phân thức với MTC: x² – 1)

$=\frac{x^4-1}{x^2-1}-\frac{x^4-3x^2+2}{x^2-1}=\frac{x^4-1-\left(x^4-3x^2+2\right)}{x^2-1}=\frac{x^4-1-x^4+3x^2-2}{x^2-1}=\frac{3x^2-3}{x^2-1}=\frac{3\left(x^2-1\right)}{x^2-1}$

= 3.

Bài 31 trang 50 Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng 1:

a) $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1};$

b) $\frac{1}{xy-x^2}-\frac{1}{y^2-xy}.$

Lời giải

a) Ta có: 

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1.\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}-\frac{1.x}{x\left(x+1\right)}$

$=\frac{x+1}{x\left(x+1\right)}-\frac{x}{x\left(x+1\right)}$

$=\frac{x+1-x}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}.$

Kết quả của hiệu trên là một phân thức có tử số bằng 1.

b) Ta có:

$\frac{1}{xy-x^2}-\frac{1}{y^2-xy}=\frac{1}{x\left(y-x\right)}-\frac{1}{y\left(y-x\right)}$

$=\frac{y}{xy\left(y-x\right)}-\frac{x}{xy\left(y-x\right)}=\frac{y-x}{xy\left(y-x\right)}=\frac{1}{xy}.$

Kết quả của hiệu trên là $\frac{1}{xy}$ là một phân thức có tử số bằng 1.

Bài 32 trang 50 Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:

$\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$

$+\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}.$

Lời giải

Từ bài 31 ý a) ta có: $\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.$

Tương tự với các phân thức còn lại trong tổng ta sẽ thực hiện tách thành hiệu của hai phân thức như trên:

$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2};$

$\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3};$

$\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4};$

$\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5};$

$\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}=\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6};$

Khi đó, ta có:

$\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$

$+\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}\begin{array}{l}=\frac{1}{x+1}+\left(-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}\right)+\left(-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}\right)+\left(-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}\right)+\left(-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}\right)\\ -\frac{1}{x+6}\end{array}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+6}=\frac{x+6}{\left(x+1\right)\left(x+6\right)}-\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x+6\right)}=\frac{x+6-x-1}{\left(x+1\right)\left(x+6\right)}=\frac{5}{\left(x+1\right)\left(x+6\right)}$

Bài 33 trang 50 Toán 8 Tập 1: Làm các phép tính sau:

a)$\frac{4xy-5}{10x^{3}y}-\frac{6y^2-5}{10x^{3}y};$

b)$\frac{7x+6}{2x\left(x+7\right)}-\frac{3x+6}{2x^2+14x}.$

Lời giải

a)

$\begin{array}{l}\frac{4xy-5}{10x^{3}y}-\frac{6y^2-5}{10x^{3}y}\\ =\frac{4xy-5-\left(6y^2-5\right)}{10x^{3}y}\\ =\frac{4xy-5-6y^2+5}{10x^{3}y}\\ =\frac{4xy-6y^2}{10x^{3}y}\\ =\frac{2y\left(2x-3y\right)}{10x^{3}y}\\ =\frac{2x-3y}{5x^3}\end{array}$

b) 

$\begin{array}{l}\frac{7x+6}{2x\left(x+7\right)}-\frac{3x+6}{2x^2+14x}\\ =\frac{7x+6}{2x\left(x+7\right)}-\frac{3x+6}{2x\left(x+7\right)}\\ =\frac{7x+6-3x-6}{2x\left(x+7\right)}\\ =\frac{4x}{2x\left(x+7\right)}\\ =\frac{2}{x+7}.\end{array}$

Bài 34 trang 50 Toán 8 Tập 1: Dùng quy tắc đổi dấu rồi thực hiện các phép tính:

a)$\frac{4x+13}{5x\left(x-7\right)}-\frac{x-48}{5x\left(7-x\right)};$

b)$\frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1}.$

Lời giải

a)$\frac{4x+13}{5x\left(x-7\right)}-\frac{x-48}{5x\left(7-x\right)}$

$=\frac{4x+13}{5x\left(x-7\right)}+\frac{x-48}{5x\left(x-7\right)}$ (áp dụng quy tắc đổi dấu)

$\begin{array}{l}=\frac{4x+13+x-48}{5x\left(x-7\right)}\\ =\frac{5x-35}{5x\left(x-7\right)}\\ =\frac{5\left(x-7\right)}{5x\left(x-7\right)}\\ =\frac{1}{x}\end{array}$

b) $\frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1}$

$=\frac{1}{x\left(1-5x\right)}-\frac{25x-15}{\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}$

$=-\frac{1}{x\left(5x-1\right)}-\frac{25x-15}{\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}$ (áp dụng quy tắc đổi dấu)

$\begin{array}{l}=-\frac{5x+1}{x\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}-\frac{\left(25x-15\right)x}{\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}\\ =-\frac{5x+1}{x\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}-\frac{25x^2-15x}{\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}\\ =\frac{-\left(5x+1\right)}{x\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}+\frac{-\left(25x^2-15x\right)}{\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}\\ =\frac{-\left(5x+1\right)-\left(25x^2-15x\right)}{x\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}\\ =\frac{-5x-1-25x^2+15x}{x\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}\\ =\frac{-25x^2+10x-1}{x\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}\\ =\frac{-\left(25x^2-10x+1\right)}{x\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}\\ =\frac{-{\left(5x-1\right)}^2}{x\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}\\ =\frac{-5x+1}{x\left(5x+1\right)}.\end{array}$

Bài 35 trang 50 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a)$\frac{x+1}{x-3}-\frac{1-x}{x+3}-\frac{2x\left(1-x\right)}{9-x^2};$

b)$\frac{3x+1}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{1}{x+1}+\frac{x+3}{1-x^2}.$

Lời giải

a) $\frac{x+1}{x-3}-\frac{1-x}{x+3}-\frac{2x\left(1-x\right)}{9-x^2}$

$\begin{array}{l}=\frac{x+1}{x-3}-\frac{1-x}{x+3}+\frac{2x\left(1-x\right)}{x^2-9}\\ =\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{\left(1-x\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{2x\left(1-x\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\\ =\frac{x^2+3x+x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x-3-x^2+3x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\\ =\frac{x^2+3x+x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{-\left(x-3-x^2+3x\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\\ =\frac{x^2+3x+x+3-\left(x-3-x^2+3x\right)+2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\\ =\frac{x^2+3x+x+3-x+3+x^2-3x+2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\\ =\frac{2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\\ =\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\\ =\frac{2}{x+3}.\end{array}$

b) $\frac{3x+1}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{1}{x+1}+\frac{x+3}{1-x^2}$

$\begin{array}{l}=\frac{3x+1}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{1}{x+1}-\frac{x+3}{x^2-1}\\ =\frac{3x+1}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{1}{x+1}-\frac{x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\\ =\frac{\left(3x+1\right)\left(x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}-\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2}-\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2}\\ =\frac{3x^2+3x+x+1}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}-\frac{x^2-2x+1}{\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2}-\frac{x^2-x+3x-3}{\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2}\\ =\frac{3x^2+3x+x+1-\left(x^2-2x+1\right)-\left(x^2-x+3x-3\right)}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\\ =\frac{3x^2+3x+x+1-x^2+2x-1-x^2+x-3x+3}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\\ =\frac{x^2+4x+3}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\\ =\frac{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\\ =\frac{x+3}{{\left(x-1\right)}^2}\end{array}$

Bài 36 trang 52 Toán 8 Tập 1: Một công ty may phải sản xuất 10 000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm.

a) Hãy biểu diễn qua x:

- Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch.

- Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày.

- Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.

b) Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25.

Lời giải

a) + Số sản phẩm phải sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là: $\frac{10000}{x}$ (sản phẩm).

+ Số sản phẩm làm được trong thực tế : 10 000 + 80 = 10 080 (sản phẩm).

Do làm xong sớm hơn 1 ngày nên số ngày làm việc thực tế: x – 1 (ngày)

Suy ra số sản phẩm thực tế đã làm được trong 1 ngày là: $\frac{10080}{x-1}$ (sản phẩm).

+ Số sản phẩm làm thêm trong 1 ngày là: $\frac{10080}{x-1}-\frac{10000}{x}$ (sản phẩm).

b) Thay x = 25, số sản phẩm làm thêm được trong một ngày bằng:

$\frac{10080}{25-1}-\frac{10000}{25}=\frac{10080}{24}-\frac{10000}{25}$

$=420-400=20$ (sản phẩm)

Vậy trong 25 ngày số sản phẩm làm thêm trong một ngày là 20 sản phẩm.

Bài 37 trang 52 Toán 8 Tập 1: Đố. Cho phân thức: $\frac{2x+1}{x^2-3}.$ Đố em tìm được một phân thức mà khi lấy phân thức đã cho trừ đi phân thức phải tìm thì được một phân thức bằng phân thức đối của phân thức đã cho.

Lời giải

Gọi phân thức cần tìm là A.

Lấy phân thức đã cho trừ đi phân thức phải tìm ta được: $\frac{2x+1}{x^2-3}-A.$

Phân thức đối của phân thức đã cho là: $-\frac{2x+1}{x^2-3}.$

Theo đề bài ta có: $\frac{2x+1}{x^2-3}-A=-\frac{2x+1}{x^2-3}$

$\Rightarrow A=\frac{2x+1}{x^2-3}-\left(-\frac{2x+1}{x^2-3}\right)\Rightarrow A=\frac{2x+1}{x^2-3}+\frac{2x+1}{x^2-3}\Rightarrow A=\frac{2x+1+2x+1}{x^2-3}\Rightarrow A=\frac{4x+2}{x^2-3}.$

Vậy phân thức cần tìm là: $\frac{4x+2}{x^2-3}.$

Bài giảng Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số