Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau: 1/x(x+1)

Giải Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Video Giải Bài 32 trang 50 Toán 8 Tập 1

Bài 32 trang 50 Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:

$\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$

$+\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}.$

Lời giải

Từ bài 31 ý a) ta có: $\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.$

Tương tự với các phân thức còn lại trong tổng ta sẽ thực hiện tách thành hiệu của hai phân thức như trên:

$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2};$

$\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3};$

$\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4};$

$\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5};$

$\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}=\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6};$

Khi đó, ta có:

$\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$

$+\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}\begin{array}{l}=\frac{1}{x+1}+\left(-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}\right)+\left(-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}\right)+\left(-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}\right)+\left(-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}\right)\\ -\frac{1}{x+6}\end{array}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+6}=\frac{x+6}{\left(x+1\right)\left(x+6\right)}-\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x+6\right)}=\frac{x+6-x-1}{\left(x+1\right)\left(x+6\right)}=\frac{5}{\left(x+1\right)\left(x+6\right)}$