Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Mục lục Giải Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Video giải Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 35 Toán 8 Tập 1: Em hãy viết một phân thức đại số:

Lời giải

Ví dụ về một phân thức đại số là: $\frac{x^3-7x^2+x+5}{x+1}$

Câu hỏi 2 trang 35 Toán 8 Tập 1: Một số thực a bất kì có phải là một phân thức không? Vì sao?

Lời giải

Ta có: $a=\frac{a}{1}$.

Do đó số thực a viết được dưới dạng phân thức $\frac{A}{B}$, trong đó A = a là một đa thức và B = 1 là một đa thức khác 0.

Vậy số thực a bất kì là một phân thức.

Câu hỏi 3 trang 35 Toán 8 Tập 1: Có thể kết luận $\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}=\frac{x}{2y^2}$ hay không?

Lời giải

Có thể kết luận $\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}=\frac{x}{2y^2}$ vì:

Ta có: 3x²y.2y² = (3.2).x².(y.y²) = 6x²y³.

x.6xy³ = 6.(x.x).y³  = 6x²y³.

Suy ra 3x²y.2y² = x.6xy³

Do đó $\frac{3x^{2}y}{6x{y}^3}=\frac{x}{2y^2}$.

Câu hỏi 4 trang 35 Toán 8 Tập 1:Xét xem hai phân thức $\frac{x}{3}$ và $\frac{x^2+2x}{3x+6}$ có bằng nhau hay không?

Lời giải

Ta có: x.(3x + 6) = x.3x + 6.x = 3x² + 6x

3(x² + 2x) = 3x² + 3.2x = 3x² + 6x

Suy ra x(3x + 6) = 3(x² + 2x).

Do đó: $\frac{x}{3}=\frac{x^2+2x}{3x+6}.$

Vậy $\frac{x}{3}=\frac{x^2+2x}{3x+6}.$

Câu hỏi 5 trang 35 Toán 8 Tập 1: Bạn Quang nói rằng: $\frac{3x+3}{3x}=3$, còn bạn Vân thì nói $\frac{3x+3}{3x}=\frac{x+1}{x}.$ Theo em, ai nói đúng?

Lời giải

Xét $\frac{3x+3}{3x}=3\iff \frac{3x+3}{3x}=\frac{3}{1}$

Vì (3x + 3).1 = 3x + 3, 3x.3 = 9x

nên $\left(3x+3\right).3\ne 3x.3$

$\Rightarrow \frac{3x+3}{3x}\ne \frac{3}{1}\Rightarrow \frac{3x+3}{3x}\ne 3.$

Do đó phát biểu của ban Quang sai.

Xét $\frac{3x+3}{3x}=\frac{x+1}{x}$

Ta có: (3x + 3).x = 3x² + 3x

và 3x(x + 1) = 3x² + 3x

nên (3x + 3).x = 3x(x + 1)

Suy ra $\frac{3x+3}{3x}=\frac{x+1}{x}.$

Do đó phát biểu của bạn Vân đúng.

Vậy phát biểu bạn Quang sai, phát biểu của bạn Vân đúng.

Bài tập

Bài 1 trang 36 Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a) $\frac{5y}{7}=\frac{20xy}{28x};$

b) $\frac{3x\left(x+5\right)}{2\left(x+5\right)}=\frac{3x}{2};$

c) $\frac{x+2}{x-1}=\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x^2-1};$

d) $\frac{x^2-x-2}{x+1}=\frac{x^2-3x+2}{x-1};$

e) $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4}=x+2.$

Lời giải

a) Ta có: 5y.28x = 140xy;

7.20xy = 140xy

Suy ra 5y.28x = 20xy.7. Do đó $\frac{5y}{7}=\frac{20xy}{28x}.$

b) Ta có: 3x(x + 5).2 = (3x² + 15x).2 = 6x² + 30x

và 2(x + 5).3x = (2x + 10).3x = 6x² + 30x

Suy ra 3x(x + 5).2 = 2(x + 5).3x

Do đó: $\frac{3x\left(x+5\right)}{2\left(x+5\right)}=\frac{3x}{2}.$

c) Ta có: (x + 2)(x² – 1) = x³ – x + 2x² – 2

= x³ + 2x² – x – 2

và (x – 1)(x + 2)(x + 1) = (x² + 2x – x – 2)(x + 1)

= x(x² + 2x – x – 2) + 1.(x² + 2x – x – 2)

= x³ + 2x² – x² – 2x + x² + 2x – x – 2

= x³ + (2x² – x² + x²) + (-2x + 2x – x) – 2

= x³ + 2x² – x – 2.

Suy ra (x + 2)(x² – 1) = (x - 1)(x + 2)(x + 1)

Do đó: $\frac{x+2}{x-1}=\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x^2-1}.$

d) Ta có: (x² – x – 2)(x – 1)

= x.(x² – x – 2) – 1.(x² – x – 2)

= x³ – x² – 2x – x² + x + 2

= x³ + (-x² – x²) + (-2x + x) + 2

= x³ – 2x² – x + 2.

Và (x + 1)(x² – 3x + 2)

= x.(x² – 3x + 2) + 1.(x² – 3x + 2)

= x³ – 3x² + 2x + x² – 3x + 2

= x³ + (-3x² + x²) + (2x – 3x) + 2

= x³ – 2x² – x + 2

Suy ra (x² – x – 2)(x – 1) = (x² – 3x + 2)(x + 1)

Do đó $\frac{x^2-x-2}{x+1}=\frac{x^2-3x+2}{x-1}.$

e) Ta có: $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4}=x+2\iff \frac{x^3+8}{x^2-2x+4}=\frac{x+2}{1}$

Vì (x³ + 8).1 = x³ + 8

và (x² – 2x + 4)(x + 2)

= x(x² – 2x + 4) + 2(x² – 2x + 4)

= x³ – 2x² + 4x + 2x² – 4x + 8

= x³ + (-2x² + 2x²) + (4x – 4x) + 8

= x³ + 0 + 0 + 8

= x³ + 8

Suy ra (x³ + 8).1 = (x² – 2x + 4)(x + 2)

Do đó $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4}=\frac{x+2}{1}$ hay $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4}=x+2$

Bài 2 trang 36 Toán 8 Tập 1: Ba phân thức sau có bằng nhau không?

$\frac{x^2-2x-3}{x^2+x},\frac{x-3}{x},\frac{x^2-4x+3}{x^2-x}$.

Lời giải

+) So sánh $\frac{x^2-2x-3}{x^2+x}$ và $\frac{x-3}{x}$

Ta có: (x² – 2x – 3).x = x².x + (-2x).x + (-3).x

= x³ – 2x² – 3x

(x² + x)(x – 3) = x².x + x².(-3) + x.x + x.(-3)

= x³ – 3x² + x² – 3x = x³ – 2x² – 3x

Suy ra (x² – 2x – 3).x = (x² + x)(x – 3)

Do đó $\frac{x^2-2x-3}{x^2+x}=\frac{x-3}{x}$ (1)

+) So sánh $\frac{x-3}{x}$ và $\frac{x^2-4x+3}{x^2-x}$

Ta có: (x – 3)(x² – x) = (x – 3).x.(x – 1)

x.(x² – 4x + 3) = x.(x² – x – 3x + 3)

= x.[x.(x – 1) – 3.(x – 1)] = x.(x – 3)(x – 1)

Suy ra (x – 3)(x² – x) = x.(x² – 4x + 3)

Do đó $\frac{x-3}{x}=\frac{x^2-4x+3}{x^2-x}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{x^2-2x-3}{x^2+x}=\frac{x-3}{x}=\frac{x^2-4x+3}{x^2-x}.$

Vậy $\frac{x^2-2x-3}{x^2+x}=\frac{x-3}{x}=\frac{x^2-4x+3}{x^2-x}.$

Lời giải

Gọi P là đa thức cần điền vào chỗ trống, khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\frac{P}{x^2-16}=\frac{x}{x-4}\\ \\ \Rightarrow P\left(x-4\right)=x\left(x^2-16\right)\\ \\ \Rightarrow P=x\left(x^2-16\right):\left(x-4\right)\\ \\ \Rightarrow P=x\left(x^2-4^2\right):\left(x-4\right)\\ \\ \Rightarrow P=x\left(x-4\right)\left(x+4\right):\left(x-4\right)\\ \\ \Rightarrow P=x\left(x+4\right)\\ \\ \Rightarrow P=x^2+4x.\end{array}$

Vậy đa thức thích hợp điền vào chỗ trống là: x² + 4x.

Bài giảng Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số