Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Mục lục Giải Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Video giải Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 51 Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức: $\frac{3x^2}{x+5}$ và $\frac{x^2-25}{6x^3}$. Cũng làm như nhân hai phân số, hãy nhân tử với tử và mẫu với mẫu của hai phân thức này để được một phân thức.

Lời giải

Nhân tử với tử, mẫu với mẫu ta được:

$\frac{3x^2}{x+5}.\frac{x^2-25}{6x^3}=\frac{3x^2\left(x^2-25\right)}{\left(x+5\right).6x^3}=\frac{3x^4-75x^2}{6x^4+30x^3}.$

Vậy khi thực hiên nhân tử với tử mẫu với mẫu của hai phân thức ta được phân thức mới là $\frac{3x^4-75x^2}{6x^4+30x^3}.$

Câu hỏi 2 trang 52 Toán 8 Tập 1:Làm tính nhân phân thức: $\frac{{\left(x-3\right)}^2}{2x^5}.\left(-\frac{3x^2}{x-13}\right)$.

Lời giải

$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{2x^5}.\left(-\frac{3x^2}{x-13}\right)=\frac{{\left(x-3\right)}^2}{2x^5}.\frac{\left(-3x^2\right)}{x-13}=\frac{{\left(x-3\right)}^2.\left(-3x^2\right)}{2x^5.\left(x-13\right)}=\frac{\left(x^2-6x+9\right).\left(-3x^2\right)}{2x^5.\left(x-13\right)}=\frac{(-3).{\left(x-3\right)}^2}{2x^3.\left(x-13\right)}.$

Câu hỏi 3 trang 52 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính: $\frac{x^2+6x+9}{1-x}.\frac{{\left(x-1\right)}^3}{2{\left(x+3\right)}^3}$.

Lời giải

$\begin{array}{l}\frac{x^2+6x+9}{1-x}.\frac{{\left(x-1\right)}^3}{2{\left(x+3\right)}^3}\\ =\frac{x^2+6x+9}{-\left(x-1\right)}.\frac{{\left(x-1\right)}^3}{2{\left(x+3\right)}^3}\\ =\frac{\left(x^2+6x+9\right).{\left(x-1\right)}^3}{-\left(x-1\right).2{\left(x+3\right)}^3}\\ =\frac{{\left(x+3\right)}^2.{\left(x-1\right)}^3}{-\left(x-1\right).2{\left(x+3\right)}^3}\\ =\frac{{\left(x-1\right)}^2}{-2\left(x+3\right)}\\ =\frac{x^2-2x+1}{-2x-6}.\end{array}$

Câu hỏi 4 trang 52 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh $\frac{3x^5+5x^3+1}{x^4-7x^2+2}.\frac{x}{2x+3}.\frac{x^4-7x^2+2}{3x^5+5x^3+1}.$

Lời giải

$\frac{3x^5+5x^3+1}{x^4-7x^2+2}.\frac{x}{2x+3}.\frac{x^4-7x^2+2}{3x^5+5x^3+1}$

$=\frac{3x^5+5x^3+1}{x^4-7x^2+2}.\frac{x^4-7x^2+2}{3x^5+5x^3+1}.\frac{x}{2x+3}$ (Sử dụng tính chất giao hoán)

$=\left(\frac{3x^5+5x^3+1}{x^4-7x^2+2}.\frac{x^4-7x^2+2}{3x^5+5x^3+1}\right).\frac{x}{2x+3}$ (Sử dụng tính chất kết hợp)

$\begin{array}{l}=1.\frac{x}{2x+3}\\ =\frac{x}{2x+3}.\end{array}$

Bài tập

Bài 38 trang 52 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{15x}{7y^3}.\frac{2y^2}{x^2};$

b) $\frac{4y^2}{11x^4}.\left(-\frac{3x^2}{8y}\right);$

c) $\frac{x^3-8}{5x+20}.\frac{x^2+4x}{x^2+2x+4}.$

Lời giải

a) $\frac{15x}{7y^3}.\frac{2y^2}{x^2}=\frac{15x.2y^2}{7y^3.x^2}=\frac{30}{7xy}.$

b) $\frac{4y^2}{11x^4}.\left(-\frac{3x^2}{8y}\right)=\frac{4y^2}{11x^4}.\frac{\left(-3x^2\right)}{8y}$

$=\frac{4y^2.\left(-3x^2\right)}{11x^4.8y}$$=\frac{\left(-3\right)y}{22x^2}.$

c) $\frac{x^3-8}{5x+20}.\frac{x^2+4x}{x^2+2x+4}=\frac{\left(x^3-8\right).\left(x^2+4x\right)}{\left(5x+20\right).\left(x^2+2x+4\right)}$

$=\frac{\left(x-2\right).\left(x^2+2x+4\right).x\left(x+4\right)}{5\left(x+4\right).\left(x^2+2x+4\right)}$

$=\frac{\left(x-2\right).x}{5}=\frac{x^2-2x}{5}.$

Bài 39 trang 52 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau (chú ý về dấu):

a) $\frac{5x+10}{4x-8}.\frac{4-2x}{x+2};$

b) $\frac{x^2-36}{2x+10}.\frac{3}{6-x}.$

Lời giải

a) $\frac{5x+10}{4x-8}.\frac{4-2x}{x+2}=\frac{5\left(x+2\right)}{4\left(x-2\right)}.\frac{2\left(2-x\right)}{x+2}$

$=\frac{5\left(x+2\right)}{4\left(x-2\right)}.\frac{2\left(2-x\right)}{x+2}=\frac{5\left(x+2\right)}{4\left(x-2\right)}.\frac{\left(-2\right)\left(x-2\right)}{x+2}$

b) $\frac{x^2-36}{2x+10}.\frac{3}{6-x}=\frac{x^2-6^2}{2\left(x+5\right)}.\frac{3}{6-x}$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{2\left(x+5\right)}.\frac{3}{6-x}=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right).3}{2\left(x+5\right).\left(6-x\right)}$

$=\frac{-\left(6-x\right)\left(x+6\right).3}{2\left(x+5\right).\left(6-x\right)}=\frac{-3\left(x+6\right)}{2\left(x+5\right)}=\frac{-3x-18}{2x+10}.$

Bài 40 trang 53 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức sau theo hai cách (sử dụng và không sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng).

$\frac{x-1}{x}\left(x^2+x+1+\frac{x^3}{x-1}\right)$

Lời giải

Cách 1: Không áp dụng tính phân phối:

$\frac{x-1}{x}\left(x^2+x+1+\frac{x^3}{x-1}\right)=\frac{x-1}{x}\left(\frac{x^2+x+1}{1}+\frac{x^3}{x-1}\right)=\frac{x-1}{x}.\left.\frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{x^3}{x-1}\right]=\frac{x-1}{x}.\left.\frac{x^3-1}{x-1}+\frac{x^3}{x-1}\right]=\frac{x-1}{x}.\left.\frac{x^3-1+x^3}{x-1}\right]=\frac{x-1}{x}.\frac{2x^3-1}{x-1}=\frac{\left(x-1\right).\left(2x^3-1\right)}{x.\left(x-1\right)}=\frac{2x^3-1}{x}.$

Cách 2: Áp dụng tính chất phân phối: A(B + C)= AB + AC

$\frac{x-1}{x}\left(x^2+x+1+\frac{x^3}{x-1}\right)=\frac{x-1}{x}\left(x^2+x+1\right)+\frac{x-1}{x}.\frac{x^3}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x}+\frac{\left(x-1\right).x^3}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^3-1}{x}+\frac{x^3}{x}=\frac{x^3-1+x^3}{x}=\frac{2x^3-1}{x}.$

Nhận xét: Ở bài tập này nếu sử dụng cách tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng thì nhanh hơn và ngắn gọn hơn.

Bài 41 trang 53 Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em điền được vào chỗ trống của dãy phép nhân dưới đây những phân thức có mẫu thức bằng tử thức cộng 1:

Lời giải

Yêu cầu của bài toán bao gồm tìm các phân số có mẫu thức bằng tử thức cộng 1 và tích của chúng với $\frac{1}{x}.\frac{1}{x+1}$ phải bằng $\frac{1}{x+7}$ nghĩa là các tử thức phải giản ước với các mẫu thức cho đến khi chỉ còn mẫu là x + 7 và tử bằng 1.

Ta có: $\frac{1}{x}.\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x+1}$

Ta cần phân số tiếp theo nhân vào sẽ giản ước với mẫu x + 1 nên phân số có tử là x + 1 và mẫu của phân số đó hơn tử 1 đơn vị là: x + 2;

Suy ra: $\frac{1}{x}.\frac{x}{x+1}.\frac{x+1}{x+2}=\frac{1}{x+2}.$

Ta cần phân số tiếp theo nhân vào sẽ giản ước với mẫu x + 1 nên phân số có tử là x + 1 và mẫu của phân số đó hơn tử 1 đơn vị là: x + 2;

Suy ra: $\frac{1}{x}.\frac{x}{x+1}.\frac{x+1}{x+2}.\frac{x+2}{x+3}=\frac{1}{x+3}.$

Tương tự như vậy cho đến khi đạt được đến mẫu x + 7. Khi đó ta có dãy:

$\frac{1}{x}.\frac{x}{x+1}.\frac{x+1}{x+2}.\frac{x+2}{x+3}.\frac{x+3}{x+4}.\frac{x+4}{x+5}.\frac{x+5}{x+6}.\frac{x+6}{x+7}=\frac{1}{x+7}.$

Vậy những phân thức cần điền vào chỗ chấm là:

$\frac{x+1}{x+2};\frac{x+2}{x+3};\frac{x+3}{x+4};\frac{x+4}{x+5};\frac{x+5}{x+6};\frac{x+6}{x+7}.$

Bài giảng Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số