Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Mục lục Giải Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Video giải Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (P1)

Video giải Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (P2)

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 9 Toán 8 Tập 1: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b).

Lời giải

(a + b).(a + b)

= a(a + b) + b(a + b) (Sử dụng phép nhân đa thức với đa thức)

= a.a + a.b + b.a + b.b

= a² + 2ab + b².

Vậy (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b².

Câu hỏi 2 trang 9 Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (1) bằng lời

Lời giải

Hằng đẳng thức (1) là: (A + B)² = A² + 2AB + B² được phát biểu bằng lời là:

Bình phương của tổng hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích hai biểu thức và cộng với bình phương biểu thức thứ hai.

Áp dụng trang 9 Toán 8 tập 1:

a) Tính (a + 1)²;

b) Viết biểu thức x² + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng;

c) Tính nhanh: 51²; 301².

Lời giải

a) Ta có: (a + 1)² = a² + 2.a.1 + 1² = a² + 2.a + 1.

b) x² + 4x + 4 = x² + 2.x.2 + 2² = (x + 2)².

c) 51² = (50 + 1)² = 50² + 2.50.1 + 1²

= 2 500 + 100 + 1 = 2 600 + 1 = 2 601.

301² = (300 + 1)² = 300² + 2.300.1 + 1²

= 90 000 + 600 + 1 = 90 600 + 1 = 90 601.

Câu hỏi 3 trang 10 Toán 8 Tập 1: Tính [a + (-b)]² (với a, b là các số tùy ý)

Từ đó rút ra (a – b)² = a² – 2ab + b²

Lời giải

Ta có: [a + (-b)]² = a² + 2.a.(-b) + (-b)² = a² – 2ab + b².

Mà [a + (-b)]² = (a – b)² nên (a – b)² = a² – 2ab + b².

Câu hỏi 4 trang 10 Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (2) bằng lời

Lời giải

Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương của biểu thức thứ nhất trừ đi hai lần tích biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng với bình phương biểu thức thứ hai.

Áp dụng trang 10 Toán 8 tập 1:

a) Tính ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$;

b) Tính (2x – 3y)²;

c) Tính nhanh 99².

Lời giải

a) Ta có: ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=x^2-x+\frac{1}{4}.$

b) Ta có: (2x – 3y)² = (2x)² – 2.2x.3y + (3y)²

= 4x² – 12xy + 9y².

c) Ta có: 99² = (100 – 1)² = 100² – 2.100.1 + 1²

= 10 000 – 200 + 1 = 8 000 + 1 = 8 001.

Câu hỏi 5 trang 10 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính (a + b)(a – b)

Lời giải

Ta có: (a + b)(a – b)

= a(a – b) + b(a – b)

= a² – ab + ba – b²

= a² – b².

Câu hỏi 6 trang 10 Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức số (3) bằng lời

Lời giải

Hiệu bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.

Áp dụng trang 10 Toán 8 tập 1:

a) Tính (x + 1)(x – 1);

b) Tính (x – 2y)(x + 2y);

c) Tính nhanh 56.64.

Lời giải

a) Ta có: (x + 1)(x – 1) = x² – 1² = x² – 1.

b) Ta có (x – 2y)(x + 2y) = x² – (2y)² = x² – 4y².

c) Ta có: 56.64 = (60 – 4)(60 + 4) = 60² – 4²

= 3 600 – 16 = 3 584.

Câu hỏi 7 trang 11 Toán 8 Tập 1: Ai đúng, ai sai ?

Đức viết:

x² – 10x + 25 = (x - 5)².

Thọ viết:

x² – 10x + 25 = (5 - x)².

Hương nêu nhận xét: Thọ viết sai, Đức viết đúng.

Sơn nói: Qua ví dụ trên mình rút ra được một hằng đẳng thức rất đẹp!

Hãy nêu ý kiến của em. Sơn rút ra được hằng đẳng thức nào ?

Lời giải

- Đức và Thọ đều viết đúng vì:

Ta có (x – 5)² = x² – 2.x.5 + 5² = 5² – 2.x.5 + x² = (5 – x)²

Do đó Hương nhận xét sai;

- Sơn rút ra được hằng đẳng thức là: (x - 5)² = (5 - x)²

Bài tập

Bài 16 trang 11 Toán 8 Tập 1:

a) x² + 2x + 1;

b) 9x² + y² + 6xy;

c) 25a² + 4b² – 20ab;

d) $x^2-x+\frac{1}{4}$.

Lời giải

a) x² + 2x + 1

= x² + 2.x.1 + 1²

= (x + 1)² (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = x và B = 1)

b) 9x² + y² + 6xy

= 9x² + 6xy + y²

= (3x)² + 2.3x.y + y²

= (3x + y)² (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 3x và B = y)

c) 25a² + 4b² – 20ab

= 25a² – 20ab + 4b²

= (5a)² – 2.5a.2b + (2b)²

= (5a – 2b)² (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 5a và B = 2b)

d) $x^2-x+\frac{1}{4}$

$=x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2.$

(Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = x và $B=\frac{1}{2}$)

Bài 17 trang 12 Toán 8 Tập 1:

(10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 25²; 35²; 65²; 75²

Lời giải

Ta có:

(10a + 5)² = (10a)² + 2.10a.5 + 5²

= 100a² + 100a + 25

= 100a(a + 1) + 25

Đặt A = a(a + 1), ta có:

(10a + 5)² = 100.A + 25 =$\overline{A25}.$

Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 là số có dạng $\overline{a5}$, theo chứng minh trên ta có:

${\left(\overline{a5}\right)}^2={\left(10a+5\right)}^2=100a\left(a+1\right)+25=100A+25=\overline{A25}.$

Do đó, để tính bình phương của một số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 hay có dạng $\overline{a5}$, ta chỉ cần tính A = a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau kết quả vừa tìm được.

Áp dụng:

25² = (10.2 + 5)² do đó a = 2

⇒ A = a(a + 1) = 2.3 = 6 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 625.

Vậy 25² = 625

35² = (10.3 + 5)² do đó a = 3

⇒ A = a(a + 1) = 3.4 = 12 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 1225.

Vậy 35² = 1225

65² = (10.6 + 5)² do đó a = 6

⇒ A = a(a + 1) = 6.7 = 42 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 4225.

Vậy 65² = 4225

75² = (10.7 + 5)² do đó a = 7

⇒ A = a(a + 1) = 7.8 = 56 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 5625.

Vậy 75² = 5625

Bài 18 trang 11 Toán 8 Tập 1:

Hãy nêu một đề bài tương tự.

Lời giải:

a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (1).

Với A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

Vậy ta có hằng đẳng thức:

x² + 2.x.3y + (3y)² = (x + 3y)²

hay x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)²

b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (2) với :

B² = 25y² = (5y)² ⇒ B = 5y

2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

Vậy ta có hằng đẳng thức : x² – 10xy + 25y² = (x – 5y)²

c) Đề bài tương tự:

Bài 19 trang 12 Toán 8 Tập 1:

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a – b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

Lời giải:

Diện tích của miếng tôn ban đầu là (a + b)².

Diện tích của miếng tôn phải cắt là : (a – b)².

Phần diện tích còn lại (a + b)² – (a – b)².

Ta có: (a + b)² – (a – b)²

= (a² + 2ab + b²) – ( a² – 2ab + b² )

(áp dụng HĐT số (1) và HĐT số (2))

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

= 4ab

Hoặc: (a + b)² – (a – b)²

= [(a + b) + (a – b)].[(a + b) – (a – b)]

(Áp dụng hằng đẳng thức (3))

= 2a.2b

= 4ab.

Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Bài 20 trang 12 Toán 8 Tập 1:

x² + 2xy + 4y² = (x + 2y)²

Lời giải:

Kết quả trên sai.

Ta có: (x + 2y)² = x² + 2.x.2y + 4y² 

= x² + 4xy + 4y² ≠ x² + 2xy + 4y².

Bài 21 trang 12 Toán 8 Tập 1:

a) 9x² – 6x + 1.

b) (2x + 3y)² + 2.(2x + 3y) + 1.

Hãy tìm một đề bài tương tự.

Lời giải

a) 9x² – 6x + 1

= (3x)² – 2.3x.1 + 1²

= (3x – 1)² 

(Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 3x; B = 1)

b) (2x + 3y)² + 2.(2x + 3y) + 1

= (2x + 3y)² + 2.(2x + 3y).1 + 1²

= [(2x + 3y) +1]² 

(Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 2x + 3y ; B = 1)

= (2x + 3y + 1)²

c) Đề bài tương tự:

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:

x² – 12x + 36;

(2x + y)² - 2(2x + y).(1 – 2x) + (1 – 2x)².

Bài 22 trang 12 Toán 8 Tập 1:

a) 101²;

b) 199²;

c) 47.53

Lời giải

a) 101² = (100 + 1)² = 100² + 2.100 + 1

= 10 000 + 200 + 1 = 10 201

b) 199² = (200 – 1)² = 200² – 2.200 + 1

= 40 000 – 400 + 1 = 39 601

c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50² – 3² 

= 2 500 – 9 = 2 491.

Bài 23 trang 12 Toán 8 Tập 1:

(a + b)² = (a – b)² + 4ab

(a – b)² = (a + b)² – 4ab

Áp dụng:

a) Tính (a – b)², biết a + b = 7 và a.b = 12.

b) Tính (a + b)², biết a – b = 20 và a.b = 3.

Lời giải

+ Chứng minh (a + b)² = (a – b)² + 4ab

Ta có:

VP = (a – b)² + 4ab

= a² – 2ab + b² + 4ab

= a² + (4ab – 2ab) + b²

= a² + 2ab + b²

= (a + b)² = VT (đpcm)

+ Chứng minh (a – b)² = (a + b)² – 4ab

Ta có:

VP = (a + b)² – 4ab

= a² + 2ab + b² – 4ab

= a² + (2ab – 4ab) + b²

 = a² – 2ab + b²

= (a – b)² = VT (đpcm)

+ Áp dụng, tính:

a) (a – b)² = (a + b)² – 4ab

= 7² – 4.12

= 49 – 48 = 1

b) (a + b)² = (a – b)² + 4ab

= 20² + 4.3

= 400 + 12 = 412.

Bài 24 trang 12 Toán 8 Tập 1:

a) x = 5;

b) $x=\frac{1}{7}.$

Lời giải:

A = 49x² – 70x + 25

= (7x)² – 2.7x.5 + 5²

= (7x – 5)²

a) Thay x = 5 vào A, ta được: A = (7.5 – 5)² = 30² = 900.

Vậy với x = 5 thì A  = 900.

b) Thay $x=\frac{1}{7}$ vào biểu thức A, ta được:

 $A={\left(7.\frac{1}{7}-5\right)}^2={\left(1-5\right)}^2={\left(-4\right)}^2=16.$

Vậy với $x=\frac{1}{7}$ thì A = 16.

Bài 25 trang 12 Toán 8 Tập 1:

a) (a + b + c)² ; 

b) (a + b – c)² ;    

c) (a – b – c)².

Lời giải

a) (a + b + c)²

= [(a + b) + c]²

= (a + b)² + 2(a + b)c + c²

= a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

b) (a + b – c)²

= [(a + b) – c]²

= (a + b)² – 2(a + b)c + c²

= a² + 2ab + b² – 2ac – 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab – 2bc – 2ac

c) (a – b – c)²

= [(a – b) – c]²

= (a – b)² – 2(a – b)c + c²

= a² – 2ab + b² – 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² – 2ab + 2bc – 2ac.

Bài giảng Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ