Toán 8 Bài 8: Phép chia các phân thức đại số

Mục lục Giải Toán 8 Bài 8: Phép chia các phân thức đại số

Video giải Toán 8 Bài 8: Phép chia các phân thức đại số

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 53 Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân phân thức: $\frac{x^3+5}{x-7}.\frac{x-7}{x^3+5}.$

Lời giải

$\frac{x^3+5}{x-7}.\frac{x-7}{x^3+5}=\frac{\left(x^3+5\right).\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x^3+5\right)}=1.$

Câu hỏi 2 trang 53 Toán 8 Tập 1: Tìm phân thức nghịch đảo của mỗi phân thức sau:

a) $-\frac{3y^2}{2x};$

b) $\frac{x^2+x-6}{2x+1};$

c) $\frac{1}{x-2};$

d) 3x + 2.

Lời giải

Hai phân thức là nghịch đảo của nhau nếu chúng có tích bằng 1 (hay nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ là $\frac{B}{A}$ với A, B là các đa thức khác 0).

a) Ta có: $-\frac{3y^2}{2x}=\frac{-3y^2}{2x}$.             

Suy ra phân thức nghịch đảo của $-\frac{3y^2}{2x}$ là: $\frac{2x}{-3y^2}$.

b) Phân thức nghịch đảo của $\frac{x^2+x-6}{2x+1}$ là: $\frac{2x+1}{x^2+x-6}$.

c) Phân thức nghịch đảo của $\frac{1}{x-2}$ là $\frac{x-2}{1}=x-2.$

d) Ta có: $3x+2=\frac{3x+2}{1}.$

Suy ra phân thức nghịch đảo của 3x + 2 là: $\frac{1}{3x+2}.$

Câu hỏi 3 trang 54 Toán 8 Tập 1: Làm tính chia phân thức: $\frac{1-4x^2}{x^2+4x}:\frac{2-4x}{3x}.$

Lời giải

$\begin{array}{l}\frac{1-4x^2}{x^2+4x}:\frac{2-4x}{3x}\\ =\frac{1-4x^2}{x^2+4x}.\frac{3x}{2-4x}\\ =\frac{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}{x\left(x+4\right)}.\frac{3x}{2-4x}\\ =\frac{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right).3x}{x\left(x+4\right)\left(2-4x\right)}\\ =\frac{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right).3x}{x\left(x+4\right)\mathrm{.2.}\left(1-2x\right)}\\ =\frac{3\left(1+2x\right)}{2\left(x+4\right)}\\ =\frac{3+6x}{2x+8}.\end{array}$

Câu hỏi 4 trang 54 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính sau: $\frac{4x^2}{5y^2}:\frac{6x}{5y}:\frac{2x}{3y}.$

Lời giải

$\frac{4x^2}{5y^2}:\frac{6x}{5y}:\frac{2x}{3y}$

$=\left(\frac{4x^2}{5y^2}:\frac{6x}{5y}\right):\frac{2x}{3y}$

$=\left(\frac{4x^2}{5y^2}.\frac{5y}{6x}\right):\frac{2x}{3y}$

$=\left(\frac{4x^2.5y}{5y^2.6x}\right):\frac{2x}{3y}$

$=\frac{2x}{3y}:\frac{2x}{3y}$

$=\frac{2x}{3y}.\frac{3y}{2x}=1.$

Bài tập

Bài 42 trang 54 Toán 8 Tập 1: Làm tính chia phân thức:

a) $\left(-\frac{20x}{3y^2}\right):\left(-\frac{4x^3}{5y}\right);$

b) $\frac{4x+12}{{\left(x+4\right)}^2}:\frac{3\left(x+3\right)}{x+4}.$

Lời giải

a) $\left(-\frac{20x}{3y^2}\right):\left(-\frac{4x^3}{5y}\right)$

$\begin{array}{l}=\left(-\frac{20x}{3y^2}\right).\left(-\frac{5y}{4x^3}\right)\\ =\frac{\left(-20x\right)}{3y^2}.\frac{\left(-5y\right)}{4x^3}\\ =\frac{\left(-20x\right).\left(-5y\right)}{3y^2.4x^3}\\ =\frac{25}{3x^{2}y}.\end{array}$

b) $\frac{4x+12}{{\left(x+4\right)}^2}:\frac{3\left(x+3\right)}{x+4}$

$\begin{array}{l}=\frac{4x+12}{{\left(x+4\right)}^2}.\frac{x+4}{3\left(x+3\right)}\\ =\frac{4\left(x+3\right)}{{\left(x+4\right)}^2}.\frac{x+4}{3\left(x+3\right)}\\ =\frac{4\left(x+3\right)\left(x+4\right)}{{\left(x+4\right)}^2.3\left(x+3\right)}\\ =\frac{4}{3\left(x+4\right)}\\ =\frac{4}{3x+12}.\end{array}$

Bài 43 trang 54 Toán 8 Tập 1:Thực hiện các phép tính sau:

a)$\frac{5x-10}{x^2+7}:\left(2x-4\right);$

b)$\left(x^2-25\right):\frac{2x+10}{3x-7};$

c)$\frac{x^2+x}{5x^2-10x+5}:\frac{3x+3}{5x-5}.$

Lời giải

a) $\frac{5x-10}{x^2+7}:\left(2x-4\right)$

$\begin{array}{l}=\frac{5x-10}{x^2+7}.\frac{1}{2x-4}\\ =\frac{\left(5x-10\right).1}{\left(x^2+7\right).\left(2x-4\right)}\\ =\frac{5\left(x-2\right).1}{\left(x^2+7\right)\mathrm{.2.}\left(x-2\right)}\\ =\frac{5}{2\left(x^2+7\right)}\\ =\frac{5}{2x^2+14}.\end{array}$

b) $\left(x^2-25\right):\frac{2x+10}{3x-7}$

$\begin{array}{l}=\left(x^2-25\right).\frac{3x-7}{2x+10}\\ =\frac{\left(x^2-25\right).\left(3x-7\right)}{2x+10}\\ =\frac{\left(x-5\right).\left(x+5\right).\left(3x-7\right)}{2\left(x+5\right)}\\ =\frac{\left(x-5\right).\left(3x-7\right)}{2}\\ =\frac{3x^2-7x-15x+35}{2}\\ =\frac{3x^2-22x+35}{2}.\end{array}$

c) $\frac{x^2+x}{5x^2-10x+5}:\frac{3x+3}{5x-5}$

$\begin{array}{l}=\frac{x^2+x}{5x^2-10x+5}.\frac{5x-5}{3x+3}\\ =\frac{x\left(x+1\right)}{5\left(x^2-2x+1\right)}.\frac{5\left(x-1\right)}{3\left(x+1\right)}\\ =\frac{x\left(x+1\right).5\left(x-1\right)}{5\left(x^2-2x+1\right).3\left(x+1\right)}\\ =\frac{x\left(x+1\right).5\left(x-1\right)}{5{\left(x-1\right)}^2.3\left(x+1\right)}\\ =\frac{x}{3\left(x-1\right)}\\ =\frac{x}{3x-3}.\end{array}$

Bài 44 trang 54 Toán 8 Tập 1: Tìm biểu thức Q, biết rằng: $\frac{x^2+2x}{x-1}.Q=\frac{x^2-4}{x^2-x}.$

Lời giải

$\begin{array}{l}\frac{x^2+2x}{x-1}.Q=\frac{x^2-4}{x^2-x}.\\ \iff Q=\frac{x^2-4}{x^2-x}:\frac{x^2+2x}{x-1}\\ \iff Q=\frac{x^2-4}{x^2-x}.\frac{x-1}{x^2+2x}\\ \iff Q=\frac{\left(x^2-4\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2-x\right)\left(x^2+2x\right)}\\ \iff Q=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)x\left(x+2\right)}\\ \iff Q=\frac{x-1}{x^2}.\end{array}$

Vậy $Q=\frac{x-1}{x^2}.$

Bài 45 trang 55 Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em điền được vào chỗ trống của dãy phép chia dưới đây những phân thức có tử thức bằng mẫu thức cộng 1.

Em hãy ra cho bạn một câu đố tương tự, với vế phải của đẳng thức là $\frac{x}{x+n}$, trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1 tùy ý mà em thích.

Lời giải

Ta có: $\frac{x}{x+1}:\frac{x+2}{x+1}=\frac{x}{x+1}.\frac{x+1}{x+2}=\frac{x}{x+2};$

$\begin{array}{l}\frac{x}{x+1}:\frac{x+2}{x+1}:\frac{x+3}{x+2}=\frac{x}{x+2}:\frac{x+3}{x+2}\\ =\frac{x}{x+2}.\frac{x+2}{x+3}=\frac{x.\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{x}{x+3}.\end{array}$

Như vậy phân số tiếp theo cần điền là một phân số có tử số lớn hơn mẫu số 1 đơn vị và sau khi chia có thể giản ước được với mẫu của kết quả của dãy phép tính trước là x + 3 là: $\frac{x+4}{x+3}.$ Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{x+1}:\frac{x+2}{x+1}:\frac{x+3}{x+2}:\frac{x+4}{x+3}=\frac{x}{x+3}:\frac{x+4}{x+3}\\ =\frac{x}{x+3}.\frac{x+3}{x+4}=\frac{x.\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{x}{x+4}.\end{array}$

Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi đạt được kết quả $\frac{x}{x+6},$ ta được:

$\frac{x}{x+1}:\frac{x+2}{x+1}:\frac{x+3}{x+2}:\frac{x+4}{x+3}:\frac{x+5}{x+4}:\frac{x+6}{x+5}=\frac{x}{x+6}.$

Vậy dãy số hoàn thành là: $\frac{x}{x+1}:\frac{x+2}{x+1}:\frac{x+3}{x+2}:\frac{x+4}{x+3}:\frac{x+5}{x+4}:\frac{x+6}{x+5}=\frac{x}{x+6}.$

Bài giảng Toán 8 Bài 8: Phép chia các phân thức đại số