Chứng minh rằng: (10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25

Giải Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Video Giải Bài 17 trang 12 Toán 8 Tập 1

Bài 17 trang 12 Toán 8 Tập 1:

(10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 25²; 35²; 65²; 75²

Lời giải

Ta có:

(10a + 5)² = (10a)² + 2.10a.5 + 5²

= 100a² + 100a + 25

= 100a(a + 1) + 25

Đặt A = a(a + 1), ta có:

(10a + 5)² = 100.A + 25 =$\overline{A25}.$

Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 là số có dạng $\overline{a5}$, theo chứng minh trên ta có:

${\left(\overline{a5}\right)}^2={\left(10a+5\right)}^2=100a\left(a+1\right)+25=100A+25=\overline{A25}.$

Do đó, để tính bình phương của một số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 hay có dạng $\overline{a5}$, ta chỉ cần tính A = a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau kết quả vừa tìm được.

Áp dụng:

25² = (10.2 + 5)² do đó a = 2

⇒ A = a(a + 1) = 2.3 = 6 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 625.

Vậy 25² = 625

35² = (10.3 + 5)² do đó a = 3

⇒ A = a(a + 1) = 3.4 = 12 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 1225.

Vậy 35² = 1225

65² = (10.6 + 5)² do đó a = 6

⇒ A = a(a + 1) = 6.7 = 42 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 4225.

Vậy 65² = 4225

75² = (10.7 + 5)² do đó a = 7

⇒ A = a(a + 1) = 7.8 = 56 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 5625.

Vậy 75² = 5625