Chứng minh rằng tam giác EFG là tam giác đều

Giải Toán 8 Bài tập ôn cuối năm

Bài 2 trang 131 SGK Toán lớp 8 tập 2:

Lời giải:

Vì tam giác AOB đều nên: $\widehat{AOB}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}={60}^0$

Vì AB // CD nên $\widehat{OAB}=\widehat{OCD};\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (các góc so le trong).

Suy ra: $\widehat{OCD}={60}^0;\widehat{ODC}={60}^0$ (1)

Tam giác OCD có: 

$\widehat{OCD}+\widehat{ODC}+\widehat{DOC}={180}^0$ (tổng ba góc của tam giác)  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{DOC}={60}^0$ .

Suy ra: tam giác COD là tam giác đều.

Theo giả thiết ΔAOB đều ⇒ BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

⇒ BE ⊥ AO

⇒ ΔBEC vuông tại E

Mà EG là đường trung tuyến

⇒ $EG=\frac{1}{2}BC$ (3)

Vì ΔCOD đều ⇒ CF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

⇒ CF ⊥ OD

⇒ ΔBFC vuông tại F

Mà FG là đường trung tuyến

⇒  $FG=\frac{1}{2}BC$ (4)

Hình thang ABCD (AB// CD) có: AC = AO + OC = OB + OD = BD

⇒ ABCD là hình thang cân

⇒ AD = BC.

Xét ΔAOD có: AE = EO, FO = FD

⇒ EF là đường trung bình của ΔAOD

⇒ $E\text{}F=\frac{1}{2}AD$

Mà AD = BC (cmt)

⇒ $\text{}EF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{1}{2}\text{}BC$ (5)

Từ (3); (4); (5) suy ra EF = FG = GE ⇒ ΔEFG đều (đpcm).