Cho tam giác ABC có AB < AC

Giải Toán 8 Bài tập ôn cuối năm

Bài 9 trang 132 SGK Toán lớp 8 tập 2:

Lời giải:

Ta chứng minh hai chiều:

a) Giả sử $\widehat{AB\text{}D}=\widehat{A\text{}CB}$. Chứng minh: AB² = AC. AD.

Xét ∆ABD và ∆ACB có:

$\widehat{A}chung;\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$

Suy ra: ∆ABD $~$ ∆ACB ( g.g)

Suy ra: $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow A{B}^2=AC.AD$

b) Ngược lại: giả sử AB² = AC. AD. Ta chứng minh

$\widehat{AB\text{}D}=\widehat{A\text{}CB}$.

Theo giả thiết AB² = AC. AD nên

 $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$

Xét ∆ABD và ∆ACB có:

$\widehat{A}chung$

$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$

Suy ra: ∆ABD $~$ ∆ACB

Do đó,  $\widehat{AB\text{}D}=\widehat{A\text{}CB}$.

Vậy từ a và b suy ra: $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}\iff A{B}^2=AC.AD$.