Dây cung của elip (E): x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (0 < b < 0) vuông góc với trục lớn

Giải Toán 10 Ôn tập chương 3

Bài 24 trang 97 Toán lớp 10 Hình học:

(A) $\frac{2c^2}{a}$

(B) $\frac{2b^2}{a}$

(C) $\frac{2a^2}{c}$

(D) $\frac{a^2}{c}$

Lời giải:

Gọi đường thẳng $∆$ đi qua tiêu điểm F₂(c; 0) của elip (E) và vuông góc với trục lớn.

Khi đó $∆$ // Oy và F₂(c; 0) $\in ∆$ nên $∆$: x – c = 0

$∆$ cắt (E) tại hai điểm M và N có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

$\iff \begin{array}{l}x=c\\ \frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=c\\ \frac{a^2-b^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=c\\ 1-\frac{b^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x=c\\ \frac{y^2}{b^2}=\frac{b^2}{a^2}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=c\\ y^2=\frac{b^4}{a^2}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=c\\ y=\pm \frac{b^2}{a}\end{array}$

$\Rightarrow M\left(c;\frac{b^2}{a}\right),N\left(c;-\frac{b^2}{a}\right)$

$\Rightarrow MN=\sqrt{{\left(c-c\right)}^2+{\left(-\frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{a}\right)}^2}=\sqrt{0+\frac{4b^4}{a^2}}=\frac{2b^2}{a}$

Vậy độ dài dây cung của (E) là độ dài đoạn thẳng MN = $\frac{2b^2}{a}$

Chọn B.