Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7) và C(–3; –8)

Giải Toán 10 Ôn tập chương 3

Bài 5 trang 93 Toán lớp 10 Hình học:

a) Tìm toạ độ của trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC;

b) Gọi T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G và H thẳng hàng.

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

a)

+) Gọi G(x_G; y_G) là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó ta có:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{4+2-3}{3}=1$

$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+7-8}{3}=\frac{2}{3}$

Vậy $G\left(1;\frac{2}{3}\right)$

+) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-15\right)$

$AH\perp BC$ nên AH nhận $\overrightarrow{n_1}=\frac{-1}{5}\overrightarrow{BC}=\left(1;3\right)$ làm VTPT.

Mà AH đi qua A(4; 3) nên 1(x − 4) + 3(y − 3) = 0

$\iff$x + 3y – 13 = 0.

+) Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(-7;-11\right)$

$BH\perp AC$ nên BH nhận $\overrightarrow{n_2}=-\overrightarrow{AC}=\left(7;11\right)$ làm VTPT.

Mà BH đi qua B(2; 7) nên 7(x − 2) + 11(y − 7) = 0 $\iff$7x + 11y – 91 = 0.

+) $H=AH\cap BH\Rightarrow \begin{array}{l}x+3y-13=0\\ 7x+11y-91=9\end{array}\iff \begin{array}{l}x=13\\ y=0\end{array}$

Vậy H(13; 0).

b)

+) Tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

TA = TB = TC suy ra TA² = TB² = TC²

+) Xét TA² = TB² $\iff$ (x − 4)² + (y − 3)² = (x − 2)² + (y − 7)²

$\iff$ x² – 8x + 16 + y² − 6y + 9 = x² −4x + 4 + y² −14y + 49

$\iff$ −4x + 8y – 28 = 0

$\iff$ x − 2y + 7 = 0

+) Xét TA² = TC² $\iff$ (x − 4)² + (y − 3)² = (x + 3)² + (y + 8)²

$\iff$ x² − 8x + 16 + y² − 6y + 9 = x² + 6x + 9 + y² + 16y + 64

$\iff$ −14x − 22y – 48 = 0

$\iff$ 7x + 11y + 24 = 0

+) Do đó tọa độ tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l}x-2y+7=0\\ 7x+11y+24=0\end{array}\Rightarrow T=\left(-5;1\right)$

Ta có: $\overrightarrow{TH}=\left(18;-1\right);\overrightarrow{TG}=\left(6;-\frac{1}{3}\right)$

Nhận thấy: $\overrightarrow{TH}=3\overrightarrow{TG}$

Vậy ba điểm H, G, T thẳng hàng.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm T(−5; 1), bán kính R = AT

R² = AT² = (−5 − 4)² + (1 − 3)² = 85

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

(x + 5)² + (y – 1)² = 85.