Cho đường thẳng denta: x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0)

Giải Toán 10 Ôn tập chương 3

Bài 4 trang 93 Toán lớp 10 Hình học:

a) Tìm điểm đối xứng của O qua $∆$;

b) Tìm điểm M trên $∆$ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.

Lời giải:

a)

+) Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc $∆$.

$∆$ nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(1;-1\right)$ làm VTPT nên nhận $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;1\right)$ làm VTCP.

$d\perp \Delta \Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;1\right)$ là VTPT của d.

Mà d đi qua O(0; 0) nên 1(x − 0) + 1(y − 0) = 0 hay x + y = 0.

+) Gọi $H=d\cap \Delta$ thì tọa độ điểm H thỏa mãn:

$\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y+2=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\Rightarrow$ H(−1;1)

+) O′ đối xứng O qua  hay H là trung điểm OO′

$\iff \begin{array}{l}{x}_{O\text{'}}=2x_H-x_O=2.\left(-1\right)=-0=-2\\ y_{O\text{'}}=2y_H-y_O=2.1-0=2\end{array}$

Suy ra O′(−2; 2).

b)

+) Quan sát hình vẽ ta thấy,

A và O nằm cùng phía so với  hay A, O′ nằm khác phía so với .

+) Gọi $M\text{'}=AO\text{'}\cap \Delta$ thì OM′ = O′M do $∆$ là đường trung trực của OO′.

Với điểm M bất kì thuộc $∆$ thì OM + AM = O′M + AM$\ge OA\text{'}$

$\Rightarrow {\left(OM+MA\right)}_{\min }=AO\text{'}$ khi $M\equiv M\text{'}$ là giao điểm của AO′ với $∆$

+) A(2; 0); O′(−2; 2) $\Rightarrow \overrightarrow{AO\text{'}}=\left(-4;2\right)$ là VTCP của AO′

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{AO\text{'}}}=\left(2;4\right)$ là VTPT của AO′

Mà AO′ đi qua A(2; 0) nên 2(x − 2) + 4(y − 0) = 0

$\iff$2x + 4y – 4 = 0

$\iff$x + 2y – 2 = 0.

+) $M=AO\text{'}\cap \Delta \iff \begin{array}{l}x+2y-2=0\\ x-y+2=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-\frac{2}{3}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}$

Vậy $M\left(-\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$