Tính đạo hàm của các hàm số sau Bài tập 17 trang 181 SGK Toán lớp 11 Đại số

Giải Toán 11 Ôn tập cuối năm

Bài tập 17 trang 181 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) $y=\frac{1}{{\cos }^{2}3x}$;

b) $y=\frac{\cos \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$;

c) y = (2 – x²)cosx + 2x sinx ;

d)  $y=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{1}{{\cos }^{2}3x}$

$y^{\text{'}}=\frac{{\left({\cos }^{2}3x\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^{4}3x}=-\frac{2\cos 3x{\left(\cos 3x\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^{4}3x}=-\frac{2\cos 3x.3\left(-\sin 3x\right)}{{\cos }^{4}3x}=-\frac{6\sin 3x}{{\cos }^{3}3x}$

b) $y=\frac{\cos \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$

$y^{\text{'}}={\left(\frac{\cos \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right)}^{\text{'}}$

$\begin{array}{l}=\frac{{\left(\cos \sqrt{x^2+1}\right)}^{\text{'}}\sqrt{x^2+1}-{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\text{'}}\cos \sqrt{x^2+1}}{x^2+1}\\ =\frac{-\sin \sqrt{x^2+1}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\text{'}}\sqrt{x^2+1}-{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\text{'}}\cos \sqrt{x^2+1}}{x^2+1}\\ =\frac{-\sin \sqrt{x^2+1}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \sqrt{x^2+1}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cos \sqrt{x^2+1}}{x^2+1}\\ =\frac{-x\left(\sqrt{x^2+1}\sin \sqrt{x^2+1}+\cos \sqrt{x^2+1}\right)}{{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^3}\end{array}$

c) y = (2 – x²)cosx + 2x sinx

y′ = [(2 – x²)cosx + 2x sinx]′

= (2 – x²)′cosx + (2 – x²)(cosx)′ + (2x)′sinx + 2x(sinx)′

= –2xcosx – (2 – x²)sinx + 2sinx + 2xcosx

= x²sinx

d) $y=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}$

$\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=\frac{{\left(\sin x-x\cos x\right)}^{\text{'}}\left(\cos x+x\sin x\right)-\left(\sin x-x\cos x\right){\left(\cos x+x\sin x\right)}^{\text{'}}}{{\left(\cos x+x\sin x\right)}^2}\\ =\frac{\left(\cos x-\cos x+x\sin x\right)\left(\cos x+x\sin x\right)-\left(\sin x-x\cos x\right)\left(-\sin x+\sin x+x\cos x\right)}{{\left(\cos x+x\sin x\right)}^2}\\ =\frac{x\sin x(\cos x+x\sin x)-x\cos x(\sin x-x\cos x)}{{(\cos x+x\sin x)}^2}\\ =\frac{x^2.\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}{{(\cos x+x\sin x)}^2}\\ =\frac{x^2}{{(\cos x+x\sin x)}^2}\end{array}$