Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Mục lục Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Video giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Hoạt động 1 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0.

Lời giải:

Ta có: $2\sin x-1=0\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2}$

Do $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{\pi }{6}$ là một giá trị của x thỏa mãn 2 sin x – 1 = 0.

Hoạt động 2 trang 19 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?

Theo Bài 1: Hàm số lượng giác, ta đã biết $-1\le \sin x\le 1$, mà – 2 < – 1

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = – 2.

Hoạt động 3 trang 21 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) $\sin x=\frac{1}{3}$;

b) $\sin \left(x+{45}^0\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Lời giải:

Vây phương trình $\sin x=\frac{1}{3}$ có các nghiệm là:

Vậy phương trình có các nghiệm $\begin{array}{l}x=-90°+k360°\\ x=180°+k360°\end{array}(k\in \mathbb{Z})$.

Hoạt động 4 trang 23 SGK Toán lớp 11 Đại số: 

a) $\cos x=-\frac{1}{2}$;

b) $\cos x=\frac{2}{3}$;

c) $\cos \left(x+{30}^0\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{-1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$

nên $\cos x=\frac{-1}{2}$ $\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$ $\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cos x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c) Vì  $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30°$ 

nên $\cos \left(x+{30}^0\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos \left(x+30°\right)=\cos 30°$

$\iff x+{30}^0=\pm {30}^0+k{360}^0,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \begin{array}{l}x=k360°\\ x=-60°+k360°\end{array},k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=k360°;x=-60°+k360°,k\in \mathbb{Z}$.

Hoạt động 5 trang 24 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tan x = 1;

b) tan x = -1;

c) tan x = 0.

Lời giải:

a) $\tan x=1\iff \tan x=\tan \frac{\pi }{4}\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $\tan x=-1\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c) $\tan x=1\iff \tan x=\tan 0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Hoạt động 6 trang 26 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) cot x = 1;

b) cot x = -1;

c) cot x = 0.

Lời giải:

a) $\cot x=1\iff \cot x=\cot \frac{\pi }{4}$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cot x=-1\iff \cot x=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c) $\cot x=0\iff \cot x=\cot \frac{\pi }{2}$

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Bài 1 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) $\sin (x+2)=\frac{1}{3}$;

b) sin 3x = 1;

c) $\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0$;

d) $\sin \left(2x+20°\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải:

Vậy các nghiệm của phương trình là:

b)  sin 3x = 1

$\iff 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

c) $\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0$

$\iff \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\frac{3\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k\frac{3\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$.

Vậy các nghiệm của phương trình là:

$x=-40°+k180°;x=110°+k180°(k\in \mathbb{Z})$

Bài 2 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

Lời giải:

Giá trị x cần tìm là nghiệm của phương trình: sin 3x = sin x

Ta có: sin 3x = sin x

$\iff \begin{array}{l}3x=x+k2\pi \\ 3x=\pi -x+k2\pi \end{array}$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \begin{array}{l}2x=k2\pi \\ 4x=\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán là $x=k\pi ;x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$.

Bài 3 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) $\cos (x-1)=\frac{2}{3}$;

b) cos 3x = cos 12⁰;

c) $\cos \left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$;

d) ${\cos }^{2}2x=\frac{1}{4}$.

Lời giải:

Vậy các nghiệm của phương trình là

b) cos 3x = cos 12⁰ 

$\iff \begin{array}{l}3x={12}^0+k{360}^0\\ 3x=-{12}^0+k{360}^0\end{array}(k\in \mathbb{Z})$

$\iff \begin{array}{l}x=4^0+k{120}^0\\ x=-4^0+k{120}^0\end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là

$x=4^0+k{120}^0;x=-4^0+k{120}^0\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy các nghiệm của phương trình là

d) ${\cos }^{2}2x=\frac{1}{4}$

$\iff \begin{array}{l}\cos 2x=\frac{1}{2}\\ \cos 2x=-\frac{1}{2}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos 2x=\cos \frac{\pi }{3}\\ \cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

$\iff \begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là

Bài 4 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình sau: $\frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$.

Lời giải:

Điều kiện: $\sin 2x\ne 1$ $\iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$ $\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

Ta có:  $\frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$

$\Rightarrow 2\cos 2x=0$

$\iff \cos 2x=0$

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Kiểm tra điều kiện:

Cách 1: $\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\ne \frac{\pi }{4}+l\pi$ $\iff \frac{k\pi }{2}\ne l\pi$ $\iff \frac{k}{2}\ne l\iff k\ne 2l$

Hay k không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên k = 2m+1.

Suy ra $x=\frac{\pi }{4}+\frac{(2m+1)\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}+m\pi .$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{3\pi }{4}+m\pi ,m\in \mathbb{Z}$.

Cách 2: Nghiệm $x=\frac{3\pi }{4}+m\pi$ cũng có thể viết thành  $x=-\frac{\pi }{4}+n\pi$

Các điểm biểu diễn $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ là M₁, M₂ nhưng điều kiện là $x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi$ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ là M₁, M₂, M₃, M₄  nhưng do không lấy hai điểm M₁, M₂  nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn M₃, M₄.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua $O$ và $\widehat{AO{M}_4}=-\frac{\pi }{4}$ nên nghiệm của phương trình là

$x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Bài 5 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) $\tan \left(x-15°\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$;

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$;

c) cos 2x. tan x = 0;

d) sin3x. cotx = 0.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x-15°\ne 90°+k180°$ $\iff x\ne 105°+k.180°\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có: $\tan \left(x-15°\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff \tan \left(x-15°\right)=\tan 30°$

$\iff x-15°=30°+k180°,(k\in \mathbb{Z})$

$\iff x=45°+k180°,(k\in \mathbb{Z})$ (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=45°+k180°,(k\in \mathbb{Z})$.

b) Điều kiện: $\sin \left(3x-1\right)\ne 0$  $\Rightarrow 3x-1\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ hay $x\ne \frac{1+k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có: $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$

$\iff \cot (3x-1)=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k\pi$

$\iff 3x=1-\frac{\pi }{6}+k\pi$

$\iff x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$  (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$.

c) Điều kiện $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

cos 2x. tan x = 0

$\iff \begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \tan x=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$  (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$; $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

d) Điều kiện: $\sin x\ne 0$ $\iff x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Ta có: sin3x. cotx = 0

$\iff \begin{array}{l}\sin 3x=0\\ \cot x=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}(k,n\in \mathbb{Z})$

Kết hợp với điều kiện:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác đế loại nghiệm:

Các nghiệm $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm từ A₁ đến A₈ trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện  $x\ne k\pi$ nên các điểm A₁ và A₄ bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A_2, A₃, A₅, A₆, A₇, A₈

Các nghiệm đó là: $\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.

Bài 6 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số $y=\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ và y = tan 2x bằng nhau?

Lời giải:

Ta có: $\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\tan 2x$

Điểu kiện: $\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}-x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi \\ 2x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi \end{array}$ $\iff \begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{4}-m\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\end{array}$ $\iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}(m\in Z)$

Khi đó phương trình tương đương với:

$2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi$

$\iff 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

Kết hợp điều kiện ta có:

$\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}$

$\iff \frac{k\pi }{3}\ne \frac{m\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$

$\iff 2k\pi \ne 3m\pi +\pi$

$\iff 2k\ne 3m+1$

$\iff k\ne \frac{3m+1}{2}(k,m\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có các nghiệm: 

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\left(k\ne \frac{3m+1}{2},k,m\in Z\right)$

Bài 7 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) sin3x − cos5x = 0;

b) tan3x. tanx = 1.

Lời giải:

a) sin3x − cos5x = 0

$\iff \cos 5x=\sin 3x$

$\iff \cos 5x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$

$\iff \begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \begin{array}{l}8x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.

b) Điều kiện: $\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có: tan 3x.tan x = 1

$\iff \tan 3x=\frac{1}{\tan x}$

$\iff \tan 3x=\cot x$

$\iff \tan 3x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff 3x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi$

$\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 2)