Giải các phương trình sau sin3x − cos5x = 0

Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Video Giải Bài 7 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 7 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) sin3x − cos5x = 0;

b) tan3x. tanx = 1.

*Phương pháp giải:

- đối với hàm tan và cot ta nên tìm điều kiện xác định trước

- chuyển 2 vế về cùng 1 hàm: ví dụ: sinx = siny rồi giải bài toán tìm ra nghiệm

*Lời giải:

a) sin3x − cos5x = 0

$\iff \cos 5x=\sin 3x$

$\iff \cos 5x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$

$\iff \begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \begin{array}{l}8x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.

b) Điều kiện: $\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có: tan 3x.tan x = 1

$\iff \tan 3x=\frac{1}{\tan x}$

$\iff \tan 3x=\cot x$

$\iff \tan 3x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff 3x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi$

$\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left.\text{cosx }\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left.\text{\hspace{0.17em}a }\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x=\arctan a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x)$\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+) Phương trình tanx = tanβ⁰có các nghiệm là:$x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.