Giải phương trình sau [ (2cos2x) / (1-sin2x) ] = 0

Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Video Giải Bài 4 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 4 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

Điều kiện: $\sin 2x\ne 1$ $\iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$ $\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

Ta có:  $\frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$

$\Rightarrow 2\cos 2x=0$

$\iff \cos 2x=0$

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Kiểm tra điều kiện:

Cách 1: $\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\ne \frac{\pi }{4}+l\pi$ $\iff \frac{k\pi }{2}\ne l\pi$ $\iff \frac{k}{2}\ne l\iff k\ne 2l$

Hay k không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên k = 2m+1.

Suy ra $x=\frac{\pi }{4}+\frac{(2m+1)\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}+m\pi .$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{3\pi }{4}+m\pi ,m\in \mathbb{Z}$.

Cách 2: Nghiệm $x=\frac{3\pi }{4}+m\pi$ cũng có thể viết thành  $x=-\frac{\pi }{4}+n\pi$

Các điểm biểu diễn $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ là M₁, M₂ nhưng điều kiện là $x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi$ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ là M₁, M₂, M₃, M₄  nhưng do không lấy hai điểm M₁, M₂  nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn M₃, M₄.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua $O$ và $\widehat{AO{M}_4}=-\frac{\pi }{4}$ nên nghiệm của phương trình là

$x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.