Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Mục lục Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3ⁿ < n + 100” và Q(n): “2ⁿ > n” với $n\in \mathbb{N}*$.

 a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với $n\in \mathbb{N}*$ thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Lời giải:

a)

Với n = 1 thì P(1): “3¹ < 1 + 100” đúng, Q(1): “2¹ > 1” đúng.

Với n = 2 thì P(2): “3² < 2 + 100” đúng, Q(2): “2² > 2” đúng.

Với n = 3 thì P(3): “3³ < 3 + 100” đúng, Q(3): “2³ > 3” đúng.

Với n = 4 thì P(4): “3⁴ < 4 + 100” đúng, Q(4): “2⁴ > 4” đúng.

Với n = 5 thì P(5): “3⁵ < 5 + 100” sai, Q(5): “2⁵ > 5” đúng.

b) Với P(n): Do với n = 5 thì P(n) sai nên P(n) không đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Với Q(n): Quan sát 2ⁿ ta thấy 2ⁿ tăng rất nhanh so với n nên 2ⁿ > n với mọi  $n\in \mathbb{N}*$ hay Q(n) đúng với $n\in \mathbb{N}*$ .

Lời giải:

Khi n = 1, VT = 1

Suy ra $VP=\frac{1(1+1)}{2}=1$

Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\ge 1$, nghĩa là:

$S_k=1+2+3+\dots +k=\frac{k(k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

$S_{k+1}=1+2+3+\dots +k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k+1}=S_k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Vậy đẳng thức đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai số 3ⁿ và 8n với $n\in \mathbb{N}*$.

a) So sánh 3ⁿ với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a)

n = 1 suy ra 3¹ = 3 < 8 = 8.1

n = 2 suy ra 3² = 9 < 16 = 8.2

n = 3 suy ra 3³ = 27 > 24 = 8.3

n = 4 suy ra 3⁴ = 81 > 32 = 8.4

n = 5 suy ra 3⁵ = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả bằng tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi $n\ge 3$

Với n = 3, bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 3$, nghĩa là: 3^k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3^k+1 > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3^k+1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

Với $k\ge 3$ suy ra $16k\ge 16.3=48>8$

Suy ra 3^k+1 > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi $n\ge 3$.

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với $n\in \mathbb{N}*$, ta có các đẳng thức:

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng $\frac{1.(3.1+1)}{2}=2$.

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (1) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$S_k=2+5+8+\dots +3k-1=\frac{k(3k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Với n = 1 thì vế trái bằng $\frac{1}{2}$, vế phải bằng $\frac{1}{2}$

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (2) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

Ta phải chứng minh

 $S_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$=\frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng $\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1$

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (3) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

Ta phải chứng minh

 $S_{k+1}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left.2\left(k+1\right)+1\right]}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

S_k+1 = 1² + 2² + 3² + … + k² + (k + 1)²

= S_k + (k + 1)²

$=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+{\left(k+1\right)}^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)+6{\left(k+1\right)}^2}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left.k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+2+1\right)}{6}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left.2\left(k+1\right)+1\right]}{6}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng với  $n\in \mathbb{N}*$ta có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n − 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 1³ + 3.1² + 5.1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với

 $n=k\ge 1,S_k=\left(k^3+3k^2+5k\right)⋮3$

Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}⋮3$

Thật vậy :

S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² +5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

= S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k⋮3$

Mà $3\left(k^2+3k+3\right)⋮3$ nên $S_{k+1}⋮3$

Vậy n³ + 3n² + 5n  chia hết cho 3 với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Cách khác: chứng minh trực tiếp

Có: n³ + 3n² + 5n

= n.(n² + 3n + 5)

= n.(n² + 3n + 2 + 3)

= n.(n² + 3n + 2) + 3n

= n(n + 1)(n + 2) + 3n

Mà $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3$  (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) và $3n⋮3$

Suy ra

 $n^3+3n^2+5n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3n⋮3$

Vậy n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi $n\in \mathbb{N}*$ .

b) 4ⁿ + 15n − 1 chia hết cho 9;

Đặt S_n = 4ⁿ + 15n – 1

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên $S_1⋮9$

Giả sử với 

$n=k\ge 1,S_k=\left(4^k+15k-1\right)⋮9$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}⋮9$

Thật vậy, ta có:

S_k+1 = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4.4^k + 15k + 15 – 1

= 4.4^k + 15k + 14

= 4.4^k + 60k – 45k + 18 – 4

= (4.4^k + 60k – 4) – 45k + 18

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18

= 4S_k – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k⋮9$ nên $4S_k⋮9$

Mặt khác $9\left(5k–2\right)⋮9$ nên $S_{k+1}⋮9$

Vậy $4^n+15n–1⋮9$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

c) n³ + 11n chia hết cho 6

Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, S₁ = 1³ + 11.1 = 12 nên $S_1⋮6$

Giả sử với $n=k\ge 1,S_k=\left(k^3+11k\right)⋮6$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}⋮6$

Thật vậy, ta có:

S_k+1 = (k + 1)³ + 11(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + (3k² + 3k + 12)

= (k³ + 11k) + 3(k² + k + 4)

= S_k + 3(k² + k + 4)

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k⋮6$

Mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên $3\left(k^2+k+4\right)⋮6$

Do đó $S_{k+1}⋮6$

Vậy $\left(n^3+11n\right)⋮6$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Cách khác: Chứng minh trực tiếp

Có: n³ + 11n 

= n³ – n + 12n

= n(n² – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3.

Suy ra $n\left(n–1\right)\left(n+1\right)⋮6$

Lại có $12n⋮6$

Vậy $n^3+11n=n\left(n–1\right)\left(n+1\right)+12n⋮6$  với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1

b) 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Lời giải:

a) 3ⁿ > 3n + 1

Với n = 2 ta có: 3² = 9 > 7 = 3.2 + 1 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 2$, tức là: 3^k > 3k + 1  (1)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

3^k+1 > 3(k + 1) + 1 = 3k + 4

Nhân hai vế của (1) với 3, ta được:

3^k+1 > 9k + 3

3^k+1 > 3k + 4 + 6k – 1

Vì $k\ge 2$ suy ra $6k-1\ge 11>0$ nên 3^k+1 > 3k + 4 + 11 > 3k + 4 = 3(k + 1) + 1

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.

b) 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Với n = 2 ta có: 2²⁺¹ = 8 > 7 = 2.2 + 3 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 2$, tức là: 2^k+1 > 2k + 3 (2)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

2^k+2 > 2(k + 1) + 3 = 2k + 5

Nhân hai vế của (2) với 2, ta được:

2^k+2 > 4k + 6

2^k+2 > 2k + 5 + 2k + 1

Vì $k\ge 2$ suy ra 2k + 1 > 0 nên 2^k+2 > 2k + 5

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3 đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.

Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho tổng

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

a) 

$S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}{S}_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}{S}_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}$

b) Từ câu a) ta dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1}$ (1), với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là $S_1=\frac{1}{2}$ vế phải bằng $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức  đúng với $n=k\ge 1$, tức là:

 $S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\dots +\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: 

$S_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}$

Ta có: 

$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}$

Tức là đẳng thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$.

Lời giải:

Kí hiệu đường chéo của đa giác n cạnh là C_n.

Ta chứng minh $C_n=\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ (1) với mọi  $n\in \mathbb{N}*,n\ge 4$.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác 4(4 − 3) : 2 = 2 nên (1) đúng với n = 4.

Vậy khẳng định đúng với n = 4.

Giả sử (1) đúng với  $n=k\ge 4$, tức là

 $C_k=\frac{k(k-3)}{2}$

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Tức là 

$C_{k+1}=\frac{\left(k+1\right)\left.\left(k+1\right)-3\right]}{2}$

Xét đa giác lồi k + 1 cạnh 

Ngoài ra A₁A_k cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

$\frac{k\left(k-3\right)}{2}+k-2+1=\frac{k^2-3k}{2}+k-1=\frac{k^2-3k+2k-2}{2}=\frac{k^2-k-2}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k-2\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left.\left(k+1\right)-3\right]}{2}$

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh.

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học