Ta có các đẳng thức

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng $\frac{1.(3.1+1)}{2}=2$.

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (1) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$S_k=2+5+8+\dots +3k-1=\frac{k(3k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Với n = 1 thì vế trái bằng $\frac{1}{2}$, vế phải bằng $\frac{1}{2}$

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (2) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

Ta phải chứng minh

 $S_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$=\frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng $\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1$

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức (3) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

Ta phải chứng minh

 $S_{k+1}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left.2\left(k+1\right)+1\right]}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

S_k+1 = 1² + 2² + 3² + … + k² + (k + 1)²

= S_k + (k + 1)²

$=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+{\left(k+1\right)}^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)+6{\left(k+1\right)}^2}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left.k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+2+1\right)}{6}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left.2\left(k+1\right)+1\right]}{6}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.