Anonymous

Ta có các đẳng thức

- asked 6 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng $\frac{1. (3.1 + 1)}{2} = 2$ .

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_{n}$

Giả sử đẳng thức (1) đúng với $n = k \geq 1$ , tức là

$S_{k} = 2 + 5 + 8 + \dots + 3 k - 1 = \frac{k (3 k + 1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với $n = k + 1$ , nghĩa là phải chứng minh

Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Ta có các đẳng thức (ảnh 1)

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi $n \in ℕ *$ .

Với n = 1 thì vế trái bằng $\frac{1}{2}$ , vế phải bằng $\frac{1}{2}$

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_{n}$

Giả sử đẳng thức (2) đúng với $n = k \geq 1$ , tức là

Ta phải chứng minh

$S_{k + 1} = \frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$= \frac{2^{k + 1} - 2 + 1}{2^{k + 1}} = \frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi $n \in ℕ *$ .

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng $\frac{1 (1 + 1) (2 + 1)}{6} = 1$

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng $S_{n}$

Giả sử đẳng thức (3) đúng với $n = k \geq 1$ , tức là

Ta phải chứng minh

$S_{k + 1} = \frac{(k + 1) (k + 2) 2 (k + 1) + 1]}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

S_k+1 = 1² + 2² + 3² + … + k² + (k + 1)²

= S_k + (k + 1)²

$= \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + {(k + 1)}^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + 6 {(k + 1)}^{2}}{6} = \frac{(k + 1) k (2 k + 1) + 6 (k + 1)]}{6} = \frac{(k + 1) (2 k^{2} + k + 6 k + 6)}{6} = \frac{(k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6)}{6} = \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6} = \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 2 + 1)}{6}$