Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) 3ⁿ > 3n + 1

b) 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Lời giải:

a) 3ⁿ > 3n + 1

Với n = 2 ta có: 3² = 9 > 7 = 3.2 + 1 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 2$, tức là: 3^k > 3k + 1  (1)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

3^k+1 > 3(k + 1) + 1 = 3k + 4

Nhân hai vế của (1) với 3, ta được:

3^k+1 > 9k + 3

3^k+1 > 3k + 4 + 6k – 1

Vì $k\ge 2$ suy ra $6k-1\ge 11>0$ nên 3^k+1 > 3k + 4 + 11 > 3k + 4 = 3(k + 1) + 1

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.

b) 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Với n = 2 ta có: 2²⁺¹ = 8 > 7 = 2.2 + 3 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 2$, tức là: 2^k+1 > 2k + 3 (2)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

2^k+2 > 2(k + 1) + 3 = 2k + 5

Nhân hai vế của (2) với 2, ta được:

2^k+2 > 4k + 6

2^k+2 > 2k + 5 + 2k + 1

Vì $k\ge 2$ suy ra 2k + 1 > 0 nên 2^k+2 > 2k + 5

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3 đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.