Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

Kí hiệu đường chéo của đa giác n cạnh là C_n.

Ta chứng minh $C_n=\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ (1) với mọi  $n\in \mathbb{N}*,n\ge 4$.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác 4(4 − 3) : 2 = 2 nên (1) đúng với n = 4.

Vậy khẳng định đúng với n = 4.

Giả sử (1) đúng với  $n=k\ge 4$, tức là

 $C_k=\frac{k(k-3)}{2}$

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Tức là 

$C_{k+1}=\frac{\left(k+1\right)\left.\left(k+1\right)-3\right]}{2}$

Xét đa giác lồi k + 1 cạnh 

Ngoài ra A₁A_k cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

$\frac{k\left(k-3\right)}{2}+k-2+1=\frac{k^2-3k}{2}+k-1=\frac{k^2-3k+2k-2}{2}=\frac{k^2-k-2}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k-2\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left.\left(k+1\right)-3\right]}{2}$

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh.

Vậy bài toán đã được chứng minh.