n^3 + 3n^2 + 5n chia hết cho 3

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n − 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 1³ + 3.1² + 5.1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với

 $n=k\ge 1,S_k=\left(k^3+3k^2+5k\right)⋮3$

Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}⋮3$

Thật vậy :

S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² +5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

= S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k⋮3$

Mà $3\left(k^2+3k+3\right)⋮3$ nên $S_{k+1}⋮3$

Vậy n³ + 3n² + 5n  chia hết cho 3 với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Cách khác: chứng minh trực tiếp

Có: n³ + 3n² + 5n

= n.(n² + 3n + 5)

= n.(n² + 3n + 2 + 3)

= n.(n² + 3n + 2) + 3n

= n(n + 1)(n + 2) + 3n

Mà $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3$  (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) và $3n⋮3$

Suy ra

 $n^3+3n^2+5n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3n⋮3$

Vậy n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi $n\in \mathbb{N}*$ .

b) 4ⁿ + 15n − 1 chia hết cho 9;

Đặt S_n = 4ⁿ + 15n – 1

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên $S_1⋮9$

Giả sử với 

$n=k\ge 1,S_k=\left(4^k+15k-1\right)⋮9$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}⋮9$

Thật vậy, ta có:

S_k+1 = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4.4^k + 15k + 15 – 1

= 4.4^k + 15k + 14

= 4.4^k + 60k – 45k + 18 – 4

= (4.4^k + 60k – 4) – 45k + 18

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18

= 4S_k – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k⋮9$ nên $4S_k⋮9$

Mặt khác $9\left(5k–2\right)⋮9$ nên $S_{k+1}⋮9$

Vậy $4^n+15n–1⋮9$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

c) n³ + 11n chia hết cho 6

Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, S₁ = 1³ + 11.1 = 12 nên $S_1⋮6$

Giả sử với $n=k\ge 1,S_k=\left(k^3+11k\right)⋮6$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}⋮6$

Thật vậy, ta có:

S_k+1 = (k + 1)³ + 11(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + (3k² + 3k + 12)

= (k³ + 11k) + 3(k² + k + 4)

= S_k + 3(k² + k + 4)

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k⋮6$

Mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên $3\left(k^2+k+4\right)⋮6$

Do đó $S_{k+1}⋮6$

Vậy $\left(n^3+11n\right)⋮6$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Cách khác:

Có: n³ + 11n 

= n³ – n + 12n

= n(n² – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3.

Suy ra $n\left(n–1\right)\left(n+1\right)⋮6$

Lại có $12n⋮6$

Vậy $n^3+11n=n\left(n–1\right)\left(n+1\right)+12n⋮6$  với mọi $n\in \mathbb{N}*$