Toán 11 Ôn tập chương 2

Mục lục Giải Toán 11 Ôn tập chương 2

Video giải Toán 11 Ôn tập chương 2

Bài tập 1 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Ví dụ: Trên một bàn học có 4 cây bút chì và 3 cây bút mực. Có mấy cách chọn ra một cây bút?

Trường hợp chọn bút chì: có 4 cách chọn

Trường hợp chọn bút mực: có 3 cách chọn

Vậy theo quy tắc cộng có: 4 + 3 = 7 cách chọn.

Bài tập 2 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

Quy tắc nhân: Nếu công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Ví dụ: Một lớp có 3 tổ, mỗi tổ có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn từ mỗi tổ một người để thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lập được một đội?

Để lập đội, từ mỗi đội ta chọn một người:

Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ nhất

Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ hai

Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ ba

Từ đó, theo quy tắc nhân ta có:

10.10.10 = 1000 (cách chọn)

Bài tập 3 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử và sắp xếpchúng theo một thứ tự nào đó.

Tổ hợp chập k của n phần tử là trích ra một tập hợp con k phần tử của một tập hợp n phần tử không để ý đến thứ tựcác phần tử của tập hợp con đó.

Như vậy với một tổ hợp chập k của n phần tử tạo thành k! lần chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Bài tập 4 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Các chữ số có thể giống nhau?

b) Các chữ số khác nhau?

Lời giải:

a) Tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Gọi số có 4 chữ số tạo thành là $\overline{abcd}\left(a\ne 0\right)$

Ta có:$\overline{abcd}$ chẵn nên:

Số $\overline{abcd}\begin{array}{l}a,b,c,d\in A\\ a\ne 0\\ d\in \{0;2;4;6\}\end{array}$

Có 4 cách để chọn d

$a\ne 0$ nên có 6 cách chọn a

Có 7 cách chọn b và 7 cách chọn c

Vậy 4.6.7.7 = 1176 số chẵn$\overline{abcd}$ trong đó, các chữ số có thể giống nhau.

b) Gọi$\overline{abcd}$ là số cần tìm

Trường hợp 1: $\overline{abc0}(d=0)$

Vì a, b, c đôi một khác nhau và khác d nên có$A_6^3=120$ số $\overline{abc0}$

Vậy có$A_6^3=120$số $\overline{abc0}$

Trường hợp 2:$\overline{abcd}$ (với  $d\ne 0$)

$d\in \{2;4;6\}$nên có 3 cách chọn d

$a\ne 0,a\ne d$ nên có 5 cách chọn a

$b\ne a,b\ne d$ nên có 5 cách chọn b

$c\ne a,b,d$ nên có 4 cách chọn c

Suy ra có 3.5.5.4 = 300 số $\overline{abcd}$

Vậy có: 120 + 300 = 420 số$\overline{abcd}$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Cách khác:

Trường hợp 1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0

Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn

 Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

 Có 4 cách chọn chữ số hàng chục

Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số)

Trường hợp 2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0.

Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị)

Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

Có 4 cách chọn chữ số hàng chục

Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số)

Vậy theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.

Bài tập 5 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau;

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

Lời giải:

Số cách xếp 3 nam và 3 nữ vào 6 ghế là: 6! cách

Suy ra  $n\left(\Omega \right)=6!=720$

a) Ta gọi A là biến cố: “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”

Giả sử đánh số ghế từ 1 đến 6.

Trường hợp 1:

Nam ngồi ghế số 1, 3, 5 suy ra có 3! cách xếp

Nữ ngồi ghế số 2, 4, 6 suy ra có 3! cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có 3!.3! = 36 cách xếp

Trường hợp 2:

Nữ ngồi ghế số 1, 3, 5 suy ra có 3! cách xếp

Nam ngồi ghế số 2, 4, 6 suy ra có 3! cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có 3!.3! = 36 cách xếp

Suy ra:

n(A) = 3!.3! + 3!.3! = 36 + 36 = 72 cách xếp.

Vậy xác suất của biến cố là:  $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{72}{720}=\frac{1}{10}=0,1$

b) Gọi B là biến cố: “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”

Ba bạn nam ngồi cạnh nhau có 3! cách xếp là hoán vị của 3 bạn nam

Xem ba bạn nam là một phần tử thì có 4! cách xếp chung với ba bạn nữ.

Theo quy tắc nhân, ta có 3!.4! = 144

Vậy xác suất của biến cố là: $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{144}{720}=\frac{1}{5}=0,2$

Bài tập 6 trang 76 SGK Toán lớp 11 Đại số

a) Bốn quả lấy ra cùng nhau;

b) Có ít nhất một quả màu trắng.

Lời giải:

a) Phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu”

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)=C_{10}^4=210$

Có$C_6^4$ cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu trắng và có$C_4^4$cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu đen.

Gọi A là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng nhau”

Ta có: $n\left(A\right)=C_6^4+C_4^4=16$

Vậy xác suất của biến cố là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{16}{210}=\frac{8}{105}$

b) Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một quả màu trắng”

Biến cố đối của B là$\overline{B}$: “Bốn quả lấy ra không có quả màu trắng nào”

Ta có: $n\left(\overline{B}\right)=C_4^4=1$

Suy ra $n\left(B\right)=C_{10}^4-1=209$

Vậy xác suất của biến cố là: $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{209}{210}$

Bài tập 7 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

Phép thử T: "Gieo một con xúc sắc ba lần."

Không gian mẫu:

$\Omega =\left\{\right(\text{j},\text{j},\text{k)}\mid 1\le i,j,k\le 6\}$

 nên  $n\left(\Omega \right)=6^3=216$

Gọi A là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần"

Suy ra biến cố đối là  $\overline{A}$: “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm".

Lần gieo thứ nhất không ra mặt 6 chấm nên có 5 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5 chấm)

Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có 5 kết quả có thể xảy ra.

Theo quy tắc nhân:$n\left(\overline{A}\right)=5^3=125$.

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{125}{216}$

Vậy xác suất của biến cố là:

$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0,4213$

Bài tập 8 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Cạnh của lục giác;

b) Đường chéo của lục giác;

c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.

Lời giải:

a) Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên hai thẻ”

Số phần tử không gian mẫu là các tổ hợp chập 2 của 6 (đỉnh)

Dó đó $n\left(\Omega \right)=C_6^2=15$

Gọi A là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành cạnh của lục giác”

Vì số cạnh của lục giác là 6 nên n(A) = 6

Vậy xác suất của biến cố là:  $P\left(A\right)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0,4$

b) Gọi A là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành đường chéo của lục giác”

Vì số đường chéo của lục giác là số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của lục giác trừ số cạnh của lục giác.

Nên n(B) = 15 – 6 = 9

Vậy xác suất của biến cố là: $P\left(B\right)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0,6$

c) Gọi C là biến cố: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh đối diện của lục giác”

Lục giác có 3 cặp đỉnh đối diện là A - D, B - E, C - F nên n(C) = 3

Vậy xác suất của biến cố là:$P\left(C\right)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0,2$.

Bài tập 9 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn;

b) Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ.

Lời giải:

Không gian mẫu  $\Omega =\left\{\right(i,j)\mid 1\le i,j\le 6\}$

Suy ra $n\left(\Omega \right)=6.6=36$

a) A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

$A=\left\{\right(i,j)\mid i,j\in \{2;4;6\left\}\right\}$ suy ra n(A) = 3.3 = 9

Vậy xác suất của biến cố là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

b) B là biến cố "Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ"".

Vì tích hai số là lẻ chỉ khi cả hai thừa số đều lẻ nên

$B=\left\{\right(i,j)\mid i,j\in \{1;3;5\left\}\right\}$ suy ra n(B) = 3.3 = 9

Vậy xác suất của biến cố là:$P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$.

Bài tập 10 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số:

(A) 104                      

(B) 1326               

(C) 450                 

(D) 2652

Lời giải:

Mỗi cách lấy ra 2 con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 quân là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.Vậy có$C_{52}^2=1326$ (cách)Chọn đáp án B.

Bài tập 11 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số

(A) 50                       

(B) 100                 

(C) 120                

(D) 24

Lời giải:

Với 5 người A, B, C, D, E xếp hàng ngang (hay dọc) thì có 5! = 120 cách xếp.

Nếu hoán vị theo hàng ngang thì ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC, EABCD là khác nhau nhưng xếp quanh bàn tròn thì chỉ là một cách xếp.

Vậy số cách xếp 5 người ngồi quanh bàn tròn là:$n=\frac{5!}{5}=4!=24$ (cách)

Chọn đáp án D.

Bài tập 12 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số:

(A) $\frac{12}{36}$                      

(B) $\frac{11}{36}$                  

(C) $\frac{6}{36}$                   

(D) $\frac{8}{36}$

Lời giải:

Ta có:  

Gọi A là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.

$\overline{A}$ là biến cố: " Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm"

Nên  $n\left(\overline{A}\right)=5^2=25$

Suy ra  $P\left(\overline{A}\right)=\frac{25}{36}$

Vậy xác suất của biến cố là:$P\left(A\right)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$.

Chọn đáp án B.

Bài tập 13 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số:

(A) $\frac{9}{30}$                     

(B) $\frac{12}{30}$                   

(C) $\frac{10}{30}$                   

(D) $\frac{6}{30}$

Lời giải:

Phép thử T: "Lấy ngẫu nhiên hai quả cầu từ hộp có 3 quả trắng, 2 quả đen"

Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn 2 trong 5 quả cầu nên:   $n\left(\Omega \right)=C_5^2=10$

Gọi A là biến cố: "Lấy được cả hai quả trắng"

$n\left(A\right)=C_3^2=3$

Vậy xác suất của biến cố là:  $P\left(A\right)=\frac{3}{10}=\frac{9}{30}$

Chọn đáp án A.

Bài tập 14 trang 77 SGK Toán lớp 11 Đại số:

(A) $\frac{12}{216}$                     

(B) $\frac{1}{216}$                 

(C) $\frac{6}{216}$                 

(D) $\frac{3}{216}$

Lời giải:

Ta có:    $n\left(\Omega \right)=\mathrm{6.6.6}=216$

Gọi A là biến cố: "Số chấm xuất hiện trên ba con là như nhau"

Nên A = {(1; 1; 1), (2; 2; 2), (3; 3; 3), (4; 4; 4), (5; 5; 5), (6; 6; 6)}

Suy ra n(A) = 6

Vậy xác suất của biến cố là: $P\left(A\right)=\frac{6}{216}$

Chọn đáp án C.

Bài tập 15 trang 78 SGK Toán lớp 11 Đại số

(A)   $\frac{4}{16}$                    

(B) $\frac{2}{16}$                   

(C) $\frac{1}{16}$                  

(D) $\frac{6}{16}$

Lời giải:

Mỗi đồng tiền có 2 khả năng (hoặc ngửa (N), hoặc sấp (S))

Do đó  $n\left(\Omega \right)=\mathrm{2.2.2.2}=16$

Gọi A là biến cố: “Cả bốn lần xuất hiện mặt sấp”

Nên A = {SSSS}

Suy ra n(A) = 1

Vậy xác suất của biến cố là: $P\left(A\right)=\frac{1}{16}$

Chọn đáp án C.