Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Mục lục Giải Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Video giải Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Khai triển biểu thức (a + b)⁴ thành tổng các đơn thức.

Lời giải :

(a + b)⁴ = (a + b)³(a + b)

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a + b)

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Hoạt động 2 trang 57 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng tam giác Pa-xcan, chứng tỏ rằng:

a) $1+2+3+4=C_5^2$ ;

Lời giải :

a) Dựa vào tam giác Pa-xcan: $C_4^1=4$; $C_4^2=6$

$C_5^2=C_4^1+C_6^2=4+6=10$

Mà: 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Suy ra $1+2+3+4=C_5^2$.

b) Dựa vào tam giác Pa-xcan: $C_7^1=7$; $C_7^2=21$

$C_8^2=C_7^1+C_7^2=7+21=28$

Mà: 1 + 2 + … + 7 = 28

Suy ra $1+2+\dots +7=C_8^2$.

Bài tập 1 trang 57 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:

a) (a + 2b)⁵

b)  ${\left(a-\sqrt{2}\right)}^6$

c)  ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{13}$

Lời giải:

a) (a + 2b)⁵

= a⁵ + 5a⁴.2b + 10a³.(2b)² + 10a².(2b)³ + 5a.(2b)⁴ + (2b)⁵

= a⁵ +10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵

Bài tập 2 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số:Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức:

${\left(x+\frac{2}{x^2}\right)}^6$.

Lời giải:

Số hạng tổng quát:

${\left(x+\frac{2}{x^2}\right)}^6=\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^k$

$=\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.\frac{2^k}{{\left(x^2\right)}^k}$

$=\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.\frac{2^k}{x^{2k}}$

$=\sum _{k=1}^6{C}_6^k{x}^{6-k-2k}{.2}^k$

$=\sum _{k=1}^6{C}_6^k{.2}^k.x^{6-3k}$

Số hạng chứa x³ ứng với 6 – 3k = 3. Suy ra k = 1

Vậy hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức đã cho là: $C_6^1{.2}^1=2.6=12$

Bài tập 3 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Lời giải:

Số hạng tổng quát

  $T_{k+1}=C_n^k{.1}^{n-k}.{(-3x)}^k$$=C_n^k.{(-3)}^k.x^k$

Hệ số của số hạng chứa x² ứng với k = 2 hay hệ số của x² là $C_n^2.{(-3)}^2=9C_n^2$

Theo bài ra ta có:

$9C_n^2=90\iff C_n^2=10$

$\iff \frac{n!}{2!(n-2)!}=10\iff \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}=10\iff \frac{n(n-1)}{2}=10\iff n\left(n–1\right)=20\iff n^2–n–20=0\iff \begin{array}{l}n=5\left(TM\right)\\ n=-4\left(Loại\right)\end{array}$

Vậy n = 5.

Bài tập 4 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số:Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^8$.

Lời giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển của ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^8$ là: $C_8^k.{\left(x^3\right)}^{8-k}.{\left(x^{-1}\right)}^k=C_8^k.x^{24-4k}$

Số hạng không chứa x trong triển khai của ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^8$ tương đương với: 24 – 4k = 0.

Suy ra k = 6

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển của ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^8$ là $C_8^6=28$.

Bài tập 5 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ khai triển của biểu thức (3x – 4)¹⁷ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có:

Ta thấy, tổng các hệ số trong khai triển (3x – 4)¹⁷ là:

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng -1.

Bài tập 6 trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng:

a) 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100;

b) 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000;

c) $\sqrt{10}\left.{\left(1+\sqrt{10}\right)}^{100}-{\left(1-\sqrt{10}\right)}^{100}\right]$ là một số nguyên.

Lời giải:

Tổng sau cùng là tích của 100 với một tổng nên nó chia hết cho 100 suy ra 11¹⁰ – 1  chia hết cho 100 .

Vậy 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100.

Tổng sau cùng chia hết cho 100²  = 10 000 nên 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000.

c) Ta có:

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn