Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Mục lục Giải Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Video giải Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau: $\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}$ 1,5; 2; 3,1; 4,25; 5b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung $\stackrel{\curvearrowright }{AM}$  bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy $\pi \approx 3,14$)Lời giải:

a) $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

sin 1,5 = 0,9975

cos 1,5 = 0,0707

sin 2 = 0,9093

cos 2 = −0,4161

sin 3,1 = 0,0416

cos 3,1 = −0,9991

sin 4,25 = −0,8950

cos 4,25 = −0,4461

sin 5 = −0,9589

cos 5 = 0,2837

b)

Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và cos(-x).

Lời giải:

sinx = −sin(−x)

cosx = cos(−x)

Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm những số T sao cho f(x + T) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số sau:

a) f(x) = sin x

b) f(x) = tan x

Lời giải:

a) f(x) = sin x

 $\mathrm{T}=\mathrm{k}2\mathrm{\pi }(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}})$

vì $\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{T})=\sin (\mathrm{x}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi })=\mathrm{sinx}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

b) f(x) = tan x 

$\mathrm{T}=\mathrm{k\pi }(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}})$

 vì $\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{T})=\tan (\mathrm{x}+\mathrm{k\pi })=\mathrm{tanx}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

Bài 1 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy xác định giá trị của x trên đoạn $\left.-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ để hàm số y = tanx:

a) Nhận giá trị bằng 0;

b) Nhận giá trị bằng 1;

c) Nhận giá trị dương;

d) Nhận giá trị âm.

Lời giải:

a) Hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0.

Suy ra: $\tan x=0\Rightarrow x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Vì $x\in \left.-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ chọn $k\in \{-1;0;1\}$

Với $k=-1\Rightarrow x=-\pi \Rightarrow \tan (-\pi )=0$ (thỏa mãn)

Với $k=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \tan 0=0$ (thỏa mãn)

Với $k=1\Rightarrow x=\pi \Rightarrow \tan \left(\pi \right)=0$ (thỏa mãn)

Vậy $x\in \{-\pi ;0;\pi \}$ thì hàm số $y=\tan x$ nhận giá trị bằng 0 trên $\left.-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$.

b) Hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 1

Suy ra: $\tan x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Vì $x\in \left.-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ chọn $k\in \{-1;0;1\}$

Với $k=-1\Rightarrow x=\frac{-3\pi }{4}\Rightarrow \tan \frac{-3\pi }{4}=1$ (thỏa mãn)

Với $k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow \tan \frac{\pi }{4}=1$ (thỏa mãn)

Với $k=1\Rightarrow x=\frac{5\pi }{4}\Rightarrow \tan \frac{5\pi }{4}=1$ (thỏa mãn)

Vậy $x\in \left.\frac{-3\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right\}$ thì hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 1 trên $\left.-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$.

Dựa vào đồ thị hàm số y = tan x trên đoạn $\left.-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ ta có:

c) Dựa vào đồ thị

tan x > 0 khi $x\in \left(-\pi ;\frac{-\pi }{2}\right)\cup \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$

d) Dựa vào đồ thị

 Ta thấy tan x < 0 khi $x\in \left(\frac{-\pi }{2};0\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$

Bài 2 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y=\frac{1+\cos x}{\sin x}$

b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$

c) $y=\tan \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$

d) $y=\cot \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

Lời giải:

a) Hàm số $y=\frac{1+\cos x}{\sin x}$ xác định khi:

$\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

b) Hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ xác định khi: $\begin{array}{l}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0\\ 1-\cos x\ne 0\end{array}$ (*)

Vì $1+\cos x\ge 0\forall x$ nên

$(*)\iff 1-\cos x>0$ $\iff \cos x<1$ $\iff \cos x\ne 1$

$\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

c) Hàm số $y=\tan \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi: $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$

$\iff x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left.\frac{5\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

d) Hàm số $y=\cot \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ xác định khi: $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\ne 0$

$x+\frac{\pi }{6}\ne k\pi$ $\iff x\ne \frac{-\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left.\frac{-\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Bài 3 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị hàm số y = |sinx|

Lời giải:

Ta có:

 

Do đó đồ thị của hàm số y = |sinx| có được từ đồ thị (C) của hàm số y = sinx bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y ≥ 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox)

- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng y<0 (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox)

- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y<0.

Đồ thị y = |sinx| là đường liền nét trong hình dưới đây:

Bài 4 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng $\sin 2(\mathrm{x}+\mathrm{k\pi })=\sin 2\mathrm{x}$ với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

Lời giải:

Hàm y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì $2\mathrm{\pi }$ nên ta có: 

 

Ta có:

f(x) = sin2x

Do đó hàm số y = sin2x tuần là hàm tuần hoàn với chu kì  $\pi$.

Xét hàm số y = sin2x trên đoạn $\left.0;\mathrm{\pi }\right]$ .

Ta lấy các điểm đặc biệt như sau:

x	0	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\pi$
y = sin 2x	0	1	0	-1	0

Từ đó ta có đồ thị hàm số y = sin2x trên đoạn $\left.0;\mathrm{\pi }\right]$, ta tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài $\mathrm{\pi }$ ta được đồ thị hàm số y = sin2x trên R.

Bài 5 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để $\cos x=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Xét giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng $y=\frac{1}{2}$

Ta có, đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cos x tại các giao điểm có hoành độ tương ứng là $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Do đó, $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Bài 6 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Nhìn đồ thị y = sinx ta thấy trong đoạn $[-\pi ;\pi ]$ các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị y = sinx là các điểm có hoành độ thuộc khoảng $(0;\pi )$ 

Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Từ đó, tất cả các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương là  $(0+k2\pi ;\pi +k2\pi )$ hay $(k2\pi ;\pi +k2\pi )$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Bài 7 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Xét trên đoạn $[0;2\pi ]$ , dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, để làm hàm số nhận giá trị âm thì:

$x\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$

Do hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì  $2\pi$ nên tất cả các khoảng mà đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành là:

$x\in \left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right),k\in \mathbb{Z}$

Bài 8 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a) $y=2\sqrt{\cos x}+1$

b) y = 3 – 2sinx

Lời giải:

a) $y=2\sqrt{\cos x}+1$

Điều kiện: $\cos x\ge 0$ .

Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên kết hợp điều kiện ta có

$0\le \cos x\le 1$

$\Rightarrow 0\le \sqrt{\cos x}\le 1$

$\Rightarrow 0\le 2\sqrt{\cos x}\le 2$

$\Rightarrow 0+1\le 2\sqrt{\cos x}+1\le 2+1$

$\Rightarrow 1\le y\le 3$

Do đó $\max y=3$ khi $\cos x=1\iff x=k2\pi$ .

b) y = 3 - 2sin x

Ta có: $-1\le \sin x\le 1$

$\Rightarrow -2\le -2\sin x\le 2$

$\Rightarrow 3-2\le 3-2\sin x\le 3+2$

$\Rightarrow 1\le y\le 5$

Vậy $\max y=5$ khi $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ .

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác (Tiết 2)