Lý thuyết Hàm số lượng giác (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác (Tiết 2)

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

1. Hàm số sin và hàm số côsin

a) Hàm số sin

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Tập xác định của hàm số sin là $\mathrm{ℝ}$.

b) Hàm số côsin

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx:

được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.

Tập xác định của hàm số côsin là $\mathrm{ℝ}$.

2. Hàm số tang và hàm số côtang

a) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức: $y=\frac{\sin x}{\text{cosx\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}}(\text{}c\text{osx}\ne \text{0)}$

Kí hiệu là y = tanx.

Vì cosx ≠ 0 khi và chỉ khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ nên tập xác định của hàm số y = tanx là $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức: $y=\frac{\text{cos}x}{\text{sin x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}}(\sin \text{\hspace{0.17em}x}\ne \text{0)}$

Kí hiệu là y = cot x.

Vì sinx ≠ 0 khi và chỉ khi $x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ nên tập xác định của hàm số y = cotx là $D=ℝ\backslash \left.k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$ .

- Nhận xét:

Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn. Từ đó, suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx là những hàm số lẻ.

II. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

- Số T = 2π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức: 

- Hàm số y = sinx thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Tương tự; hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Các hàm số y = tanx và y = cotx cũng là những hàm số tuần hoàn, với chu kì π.

III. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác.

1. Hàm số y = sinx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx :

+ Xác định với mọi x$\in \mathrm{ℝ}$ và – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].

Hàm số y = sinx đồng biến trên $\left.0;\frac{\pi }{2}\right]$ và nghịch biến trên $\left.\frac{\pi }{2};\pi \right]$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x₁; sinx₁); (x₂; sinx₂); (x₃; sinx₃); (x₄; sinx₄); (π; 0).

- Chú ý:

Vì y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [– π;  0].

Đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

b) Đồ thị hàm số y = sinx trên $\mathrm{ℝ}$.

Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π nên với mọi x ta có:

$\sin (x+\text{\hspace{0.17em}}k2\pi )=\sin x;k\in \mathbb{Z}$

Do đó, muốn có đồ thị  hàm số y = sinx trên toàn bộ tập xác định , ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [– π; π] theo các vecto $\overrightarrow{v}=(2\pi ;0)$ và $-\overrightarrow{v}=(-2\pi ;0)$, nghĩa là tịnh tiến song song với trục hoành từng đoạn có độ dài 2π.

Dưới đây là đồ thị hàm số y = sinx trên $\mathrm{ℝ}$:

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].

2. Hàm số y = cosx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx:

+ Xác định với mọi x$\in \mathrm{ℝ}$  và – 1 ≤  cosx  ≤  1.

+ Là hàm số chẵn.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Với mọi x$\in \mathrm{ℝ}$ ta có: $\sin \left(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\pi }{2}\right)=c\text{os x}$.

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto $\overrightarrow{u}=\left(\frac{-\pi }{2};0\right)$ (sang trái một đoạn có độ dài bằng $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, song song với trục hoành), ta được đồ thị hàm số  y = cos x.

+ Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [– π; 0] và nghịch biến trên đoạn [0; π].

+ Bảng biến thiên:

+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là [– 1; 1].

+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi chung là các đường hình sin.

3. Hàm số y = tanx.

Từ định nghĩa hàm số y = tan x:

+ Có tập xác định: $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $\left.0;\frac{\pi }{2}\right)$

+ Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng $\left.0;\frac{\pi }{2}\right)$.

+ Bảng biến thiên:

+ Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $\left.0;\frac{\pi }{2}\right)$ đi qua các điểm tìm được.

b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D.

Vì y = tanx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Lấy  đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $\left.0;\frac{\pi }{2}\right)$, ta được đồ thị hàm số trên nửa khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};0\right]$.

Từ đó, ta được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

- Vì hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π nên tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tanx trên D.

+ Tập giá trị của hàm số y = tanx là $(-\infty ;+\text{}\infty )$.

4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cotx: 

+ Có tập xác định là $D=ℝ\backslash \left.k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

a) Sự biến thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoàn (0; π).

Bảng biến thiên:

Hình biểu diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D.

Đồ thị hàm số y = cotx trên D được biểu diễn như hình sau:

Tập giá trị của hàm số y = cotx là $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Lời giải:

a) Điều kiện: cosx ≠ 0

$\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: 

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: 

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{4}-k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

Bài 2. Chứng minh rằng: hàm số y = sin2x + 2sinx là hàm số lẻ.

Lời giải:

Tập xác định:  D = $\mathrm{ℝ}$.

Với mọi $x\in \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}D\Rightarrow -x\in D$

Ta có: f(x) = sin2x + 2sinx

Và f(– x) = sin(– 2x) + 2sin(– x) = – sin2x – 2sinx = – (sin2x + 2sinx)

Suy ra: f(– x) = – f(x).

Do đó, hàm số y = sin2x + 2sinx là hàm số lẻ. (đpcm).

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của các hàm số.

a) y = 2sinx – 3;

b) y = sin²x – 4sinx + 3.

Lời giải:

Với mọi x ta có: – 1 ≤ sinx ≤ 1

Suy ra: – 2 ≤ 2sinx ≤  2.

Do đó;  – 2 – 3 ≤ 2sinx – 3  ≤ 2 – 3

hay – 5 ≤ 2 sinx – 3 ≤  – 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là – 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 5.

b) Ta có: sin²x – 4sinx + 3 = (sinx – 2)² – 1.

Vì – 1 ≤ sinx ≤ 1 nên – 3 ≤ sinx – 2 ≤  – 1

 1  ≤ (sinx – 2)²  ≤ 9

 1 – 1  ≤ (sinx – 2)²  – 1 ≤ 9 – 1

hay 0 ≤  sin²x – 4sinx + 3 ≤ 8.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 8 và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0.

Bài 4. Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx,  tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = sinx :

+ Ta xét trên khoảng (– π; π):

Để hàm số nhận giá trị dương tức là sinx > 0.

Dựa vào đồ thị suy ra: $x\in \left(0;\pi \right)$.

+ Xét trên tập xác định:

Vì tính tuần hoàn với chu kì là 2π, suy ra hàm số y = sinx nhận giá trị dương khi $x\in \left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right);$$k\in \mathbb{Z}$.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Câu 1:

A. $D=\text{[}-\text{1;+}\infty \text{)}$

B. $D=ℝ$

C. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=(-\infty ;-1]$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Hàm số $y=\sqrt{1+\sin x}$ xác định

$\iff 1+\sin x\ge 0$

$\iff \sin x\ge -1$ luôn đúng  $\forall x\in ℝ$

Câu 2:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. $P+Q=2$

B. $P+Q=0$

C.  $P+Q=-1$

D. $P+Q=1$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$P=\sin \left(\pi +\alpha \right)\cos \left(\pi -\alpha \right)$

$=\sin \alpha \cos \alpha ;$

$Q=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)$

$=-\cos \alpha \sin \alpha$

Vậy $P+Q=0$.

Câu 3:

A. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

B.  $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

C.  $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{6}+k2\pi ,-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có y xác định khi $2\cos x-\sqrt{3}\ne 0$

$\iff \cos x\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$ .

Câu 4:

A. -8 và -2

B. 2 và 8

C. -5 và 2

D. - và 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có  $-1\le \sin 2x\le 1$

$\begin{array}{l}\iff -3\le 3\sin 2x\le 3\\ \iff -8\le 3\sin 2x-5\le -2\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=3\sin 2x-5$ lần lươt là -8 và -2 .

Câu 5:

A. $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)>0$

B. $\cot \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)>0$

C. $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)>0$

D. $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)>0$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì $-\frac{\pi }{3}<\alpha <\frac{\pi }{3}$

$\to 0<\alpha +\frac{\pi }{3}<\frac{2\pi }{3}$

suy ra $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)>0$.

Câu 6:

A. $\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{12+2\sqrt{2}}{9}$

C. $\frac{12-2\sqrt{2}}{9}$

D. $\frac{4-2\sqrt{2}}{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9},$

vì $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên  $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Vậy $P=\sin \alpha +\cos \alpha +1$

$=\frac{1}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}+1$

$=\frac{4-2\sqrt{2}}{3}$

Câu 7:

A. $\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

C.  $\frac{4\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

D. $\frac{-\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: Cung có số đo $\frac{4\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ biểu diễn hai điểm M, N có số đo cung lần lượt là $\frac{\pi }{3};\frac{4\pi }{3}$.

Câu 8:

A. -3

B. 3

C. 1

D. -1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $\cot \alpha =2$ nên  $\sin \alpha \ne 0$

Chia tử và mẫu của biểu thức P cho $\sin \alpha$ 

ta được $P=\frac{1+\cot \alpha }{1-\cot \alpha }=\frac{1+2}{1-2}=-3$.

Câu 9:

A. $y=\left.\tan x\right|$

B. $y=\left.\cos 2x\right|$

C. $y=\left.\cos x\right|$

D. $y=\left.\sin x\right|$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận xét:

+) $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ thì $y=0$. Suy ra loại B và D

+) $x=0$ thì y = . Suy ra loại A

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 10:

A. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

B. $\sin 4x=2\sin x\cos x\cos 2x$

C. $\cos 2x=\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x+\cos x\right)$

D. $\cos \left(a+b\right)=\sin a\sin b-\cos a\cos b$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$

$={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$

$=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$.