Lý thuyết Ôn tập chương 4 (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Ôn tập chương 4

A. LÝ THUYẾT

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

+) Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0$ hay u_n → 0 khi n → +∞.

+) Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}\right)=0$

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ hay v_n → a khi n → +∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\mathrm{n}}=0,\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}}=0$ với k nguyên dương;

b) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}$ nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ ta viết tắt là lim u_n = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

+) Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

lim (u_n + v_n) = a + b

lim (u_n – v_n) = a – b

lim (u_n.v_n) = a.b

$\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ (nếu $\mathrm{b}\ne 0$)

Nếu ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\ge 0$ với mọi n và limu_n­ = a thì:

$\lim \sqrt{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}=\sqrt{\mathrm{a}}$ và $\mathrm{a}\ge 0.$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$=\frac{{\mathrm{u}}_1}{1-\mathrm{q}}\left(\left.\mathrm{q}\right|<1\right)$

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=0$

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=+\infty$

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}.{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=+\infty$.

V. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0,\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$ với c là hằng số

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{M}$. Khi đó:

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}+\mathrm{M};\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}-\mathrm{M};\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}.\mathrm{M};\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{M}}\left(\mathrm{M}\ne 0\right);$

b) Nếu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ thì $\mathrm{L}\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{L}}.$

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$).

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

Định lí 2

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}\iff \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

VI. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};$$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0;\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0.$

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

VII. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\infty$

Nhận xét:

 $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \iff \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=-\infty$

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$;

Nếu k lẻ thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=-\infty$.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

$\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+},\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-};\mathrm{x}\to +\infty ;\mathrm{x}\to -\infty .$

B. BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

Lời giải

Đặt f(x) = x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có:

f(0) = –2 < 0

f(1) = 1 > 0

f(2) = -8 < 0

f(3) = 13 > 0

f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)

f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).

Bài 2. Giới hạn của các dãy số sau:

a) ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{3{\mathrm{n}}^3+2\mathrm{n}-1}{2{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}}$

b) u_n = 5ⁿ – 2ⁿ;

c) $\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}-\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}\right)$

Lời giải

a) ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}=\lim \frac{3+\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}}{\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}$

Vì $\lim \left(3+\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right)=3>0$, $\lim \left(\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right)=0$ và $\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}>0$ với mọi  nên theo quy tắc 3, ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}=+\infty$.

b) Ta có $5^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}=5^{\mathrm{n}}\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\mathrm{n}}\right)$

Vì ${\text{lim5}}^{\mathrm{n}}=+\infty$ và $\lim \left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\mathrm{n}}\right)=1>0$ nên theo quy tắc 2, $\lim \left(5^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}\right)=+\infty$

c)

$\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}-\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}\right)$

$=\lim \frac{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1-{\mathrm{n}}^2}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}+\mathrm{n}}+\lim \frac{{\mathrm{n}}^3-{\mathrm{n}}^3-3\mathrm{n}-2}{{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}+\sqrt[3]{{\left({\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2\right)}^2}}=\lim \frac{\mathrm{n}+1}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}+\mathrm{n}}+\lim \frac{-3\mathrm{n}-2}{{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2}+\sqrt[3]{{\left({\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}+2\right)}^2}}=\lim \frac{1+\frac{1}{\mathrm{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\mathrm{n}}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}+1}+\lim \frac{-\frac{3}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}}{1-\sqrt[3]{1+\frac{3}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}}+\sqrt[3]{{\left(1+\frac{3}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right)}^2}}=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}.$

Bài 3. a) Xét tính liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ của hàm số: $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2}\mathrm{khi}\mathrm{x}>2\\ 5-\mathrm{x}\mathrm{khi}\mathrm{x}\le 2.\end{array}$

b) Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}}\mathrm{x}<0\\ {\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\ge 0\end{array}$ tại $\mathrm{x}=0$

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là $\mathrm{ℝ}$

Với x > 2 thì hàm $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2}$ là hàm phân thức nên liên tục trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$.

Với x < 2 thì hàm g(x) = 5 – x là hàm đa thức nên liên tục trên $\left(-\infty ;2\right)$.

Tại x = 2, ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-2}=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)}{\mathrm{x}-2}=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\left(\mathrm{x}+1\right)=3\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\left(5-\mathrm{x}\right)=3\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(2\right)=3$

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên $\mathrm{ℝ}$.

b) Ta có: $\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\left(\mathrm{x}+2\mathrm{a}\right)=2\mathrm{a}$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)=1$

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì $\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\iff 2\mathrm{a}=1\iff \mathrm{a}=\frac{1}{2}.$

Vậy $\mathrm{a}=\frac{1}{2}$ thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

Bài 4. Chứng minh phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^3+15{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}+2}=3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1$ có 5 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

 ${\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^3+15{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}+2={\left(3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}^2\iff {\mathrm{x}}^5-9{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+18{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+1=0$

Hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^5-9{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+18{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+1$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$

Ta có:

$\mathrm{f}(-2)=-95<0,\mathrm{f}(-1)=1>0,\mathrm{f}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{19}{32}<0\mathrm{f}\left(0\right)=1>0,\mathrm{f}\left(2\right)=-47<0,\mathrm{f}\left(10\right)=7921>0$

Do đó phương trình  có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng $\left(-2;-1\right),\left(-1;-\frac{1}{2}\right),\left(-\frac{1}{2};0\right),$$\left(0;2\right),\left(2;10\right)$

Mặt khác  là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

Bài 5. Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathrm{A}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{(4\mathrm{x}+1)}^3{(2\mathrm{x}+1)}^4}{{(3+2\mathrm{x})}^7}$;

b)  $\mathrm{B}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{3{\mathrm{x}}^2-2}+\sqrt{\mathrm{x}+1}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}-1}$;

Lời giải

a) Ta có: $\mathrm{A}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(4+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^3{\left(2+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^4}{{\left(\frac{3}{\mathrm{x}}+2\right)}^7}=8$

b) Ta có:

 $\mathrm{B}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\left.\mathrm{x}\right|\sqrt{3-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}}+\left.\mathrm{x}\right|\sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}}{\left.\mathrm{x}\right|\left(\sqrt{1+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}-\frac{1}{\left.\mathrm{x}\right|}\right)}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{3-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}}-\sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}}{-\left(\sqrt{1+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}-\frac{1}{\left.\mathrm{x}\right|}\right)}=\sqrt{3}$

Trắc nghiệm Toán 11 Bài: Ôn tập chương 4

Câu 1:

A. 617

B. $\frac{2018}{3}$

C. $\frac{2023}{3}$

D. 671

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\lim \left(u_n+3v_n\right)=2018$

$\iff 5+3a=2018\iff a=671$ .

Câu 2:

A. $-\frac{3}{2}$

B. 0

C. – 2

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-x^3}{\left(2x-1\right)\left(x^4-3\right)}$

$=\frac{1-1}{\left(2.1-1\right)\left(1-3\right)}=0$

Câu 3:

A. 2

B. 3

C. – 2

D. $+\infty$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x-3}{x^2+6x+3}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{6}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{6}{x}+\frac{3}{x^2}}=2\end{array}$

Câu 4:

A. $a=11,b=4$

B. $a=11,b=3$

C. $a=10,b=3$

D. $a=11,b=5$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có  $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4x^3-1}{3x^2+x+2}=-\frac{11}{4}$.

Vậy $a=11$ và $b=4$ 

Câu 5:

A. $\lim \frac{1}{n^k}=0$ với k là số nguyên dương.

B. Nếu $\left.q\right|<1$ thì $\lim q^n=0$

C. Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=b$ thì  $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$

D. Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=+\infty$ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì phải có điều kiện $b\ne 0$

Câu 6:

A. 2

B. $-\infty$

C.  $+\infty$

D. $\frac{3}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\left(3+2x\right)=-1<0$;  

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\left(x+2\right)=0$ và khi $x\to {\left(-2\right)}^{-}$ thì $x+2<0$ nên

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{3+2x}{x+2}=+\infty$

Câu 7:

A. Hàm số  $y=5x^3+x-2$ liên tục trên $ℝ$

B. Hàm số  $y=\frac{3x-5}{x+3}$ liên tục trên $ℝ$

C. Hàm số $y=\frac{2x^2-x}{x+1}$  liên tục trên $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$

D. Hàm số  $y=x^5+3x^2+5$ liên tục trên $ℝ$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hàm số $y=\frac{3x-5}{x+3}$ ta có

Tập xác định là $D=ℝ\backslash \left.-3\right\}$ 

Hàm số $y=\frac{3x-5}{x+3}$ liên tục trên khoảng $\left(-\infty ;-3\right)$ và $\left(-3;+\infty \right)$ 

Câu 8:

A. $\lim \left(-3n^4+3\right)=-\infty$

B. $\lim \left(-3n^4+3\right)=0$

C. $\lim \left(-n^4+2\right)=+\infty$

D. $\lim \left(5n^4-2\right)=-\infty$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$\lim \left(-3n^4+3\right)=\lim n^4\left(-3+\frac{3}{n^4}\right)$ 

Do $\lim n^4=\infty$ $\lim \left(-3+\frac{3}{n^4}\right)=-3<0$ nên  

$\lim \left(-3n^4+3\right)=\lim n^4\left(-3+\frac{3}{n^4}\right)=-\infty$

Câu 9:

A. 9

B. 0

C. $-\infty$

D. $+\infty$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{4x-3}{x-1}=+\infty$ do  

$\begin{array}{l}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(4x-3\right)=9>0\\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim \left(x-3\right)=0\left(x-3>0\right)}\end{array}$

Câu 10:

A. $y=2x^2+x-5$

B. $y=\frac{x+5}{x-2}$

C. $y=\frac{1}{x+2}$

D. $y=\frac{x-2}{2x}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số $y=\frac{1}{x+2}$ bị gián đoạn tại $x=-2$ vì $y\left(-2\right)$ không tồn tại.