Lý thuyết Giới hạn của hàm số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0,\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$ với c là hằng số.

Ví dụ 1. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^3-8}{\mathrm{x}-2}$. Chứng minh rằng $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=12.$

Giải

Hàm số xác định trên $\mathrm{ℝ}\backslash \left.2\right\}$

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì, thỏa mãn ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\ne 2$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$.

Ta có:

$\text{limf}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\lim \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^3-8}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2}=\lim \frac{\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2\right)\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^2+2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+4\right)}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2}=\lim \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^2+2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+4\right)=12.$

Vậy $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=12.$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{M}$. Khi đó:

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}+\mathrm{M};\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}-\mathrm{M};\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}.\mathrm{M};\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{M}}\left(\mathrm{M}\ne 0\right);$

b) Nếu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ thì $\mathrm{L}\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{L}}.$

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$).

Ví dụ 2. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2}$. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).$

Giải

Ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\left(1-\mathrm{x}\right)=-3<0,\underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2=0\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2}=-\infty$

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

Định lí 2

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}\iff \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Ví dụ 3. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\begin{array}{l}\sqrt{\mathrm{x}}+1\text{ khi x}\ge \text{0}\\ \text{2x khi x < 0}\end{array}$. Tìm $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right);\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ (nếu có).

Giải

Ta có:  

$\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left(\sqrt{\mathrm{x}}+1\right)=0;\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }2\mathrm{x}=0;\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$

Do đó $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0.$

Vậy $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0.$

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};$ $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0;\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0.$

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\infty$

Nhận xét:

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \iff \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=-\infty$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$;

Nếu k lẻ thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=-\infty$.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

$\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+},\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-};\mathrm{x}\to +\infty ;\mathrm{x}\to -\infty .$

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\left({\mathrm{x}}^4-3\mathrm{x}+8\right)$;

b) $\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\frac{5\mathrm{x}-6}{2\mathrm{x}-2};$

c) $\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3};$

Giải

a)

 $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{x}}^4-3\mathrm{x}+8\right)=\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right)=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4.\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right)=+\infty$

(Vì $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4=+\infty ;$$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right)=1$).

b)

$\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\frac{5\mathrm{x}-6}{2\mathrm{x}-2}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(5\mathrm{x}-6\right):\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(2\mathrm{x}-2\right)=+\infty$

(Vì $\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(5\mathrm{x}-6\right)=-1<0;$$\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(2\mathrm{x}-2\right)=0$ và 2x – 2 < 0 với mọi x < 1).

c)

$\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}=\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\mathrm{x}:\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\left(\mathrm{x}+3\right)=-\infty$

( Vì $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }x=-3<0;$$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=0$ và x + 3 > 0 với mọi x > - 3 ).

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính giới hạn các hàm số sau:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+3}-2};$

b) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^3-9};$

c) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+1}-1\right);$

d) $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\left({\mathrm{x}}^2-1\right){\left(1-2\mathrm{x}\right)}^5}{{\mathrm{x}}^3-9};$

Lời giải

a)

$\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-1}{\sqrt{\mathrm{x}+3}-2}=\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}-2\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}=\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}-1\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\mathrm{x}-1}=\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}+3}+2}{\sqrt{\mathrm{x}}+1}=\frac{4}{2}=2$

b)

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^3-9}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}+3}{1-\frac{9}{{\mathrm{x}}^3}}=\frac{3}{1}=3$

c)

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{x^2+1}-1\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}.\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2+1}-1\right)=0$

( Vì $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}=\infty ;\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+1}-1\right)=0$).

d)

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(x^2-1\right){\left(1-2x\right)}^5}{x^7+x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right){\left(\frac{1}{x}-2\right)}^5}{1+\frac{1}{x^6}+\frac{3}{x^7}}=\frac{-2}{1}=-2$

Bài 2. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1-2x}{4x+1}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2+4}{x^2-2}$.

Lời giải

a) Xét hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1-2\mathrm{x}}{4\mathrm{x}+1}$

Tập xác định của hàm số: $ℝ\backslash \left.-\frac{1}{4}\right\}$.

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì, thỏa mãn $x_n\ne -\frac{1}{4}$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$. Ta có:

$\underset{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\underset{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2}{\lim }\frac{1-2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}{4{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+1}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}.$

Do đó $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{1-2\mathrm{x}}{4\mathrm{x}+1}=-\frac{1}{3}.$

b) Xét $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{3{\mathrm{x}}^2+4}{{\mathrm{x}}^2-2}$

Tập xác định của hàm số: $\mathrm{ℝ}\backslash \left.\pm \sqrt{2}\right\}$

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì, thỏa mãn ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\ne \pm \sqrt{2}$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to -\infty$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$. Ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{g}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{3{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}^2+4}{{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}^2-2}=3$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{3{\mathrm{x}}^2+4}{{\mathrm{x}}^2-2}=3.$

Bài 3. Cho hàm số: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3-1}\mathrm{khi}\mathrm{x}>1\\ \mathrm{mx}+2\mathrm{khi}\mathrm{x}\le 1\end{array}$

Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn khi $\mathrm{x}\to 1$? Tìm giới hạn này.

Lời giải

Ta có:

$\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3-1}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1-3}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+2\right)}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}=\frac{3}{3}=1\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(\mathrm{mx}+2\right)=\mathrm{m}+2$

Để hàm số f(x) có giới hạn khi $x\to 1$ thì $\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

$\iff \mathrm{m}+2=1\iff \mathrm{m}=-1$

Khi đó: $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1$.

Vậy m = -1 thì hàm số f(x) có giới hạn khi $x\to 1$ và giới hạn đó bằng 1.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Câu 1:

A. $\frac{1}{5}$

B. $\sqrt{5}$ 

C. $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 

D.   5.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{\frac{9x^2-x}{(2x-1)(x^4-3)}}\\ =\sqrt{\frac{{9.3}^2-3}{(2.3-1)(3^4-3)}}\end{array}$

$=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Câu 2:

A.  0.

B.  +∞.

C.  1.

D.  −∞.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có $x<0$ nên:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }\left({\left.x\right|}^3+2x^2+3\left.x\right|\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^3+2x^2-3x\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3.\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\\ =+\infty \end{array}$

Vì $\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty ,\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}\right)=-1<0\end{array}$

Câu 3:

A. −1

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+3}-x\right)\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+x+3-x^2}{\sqrt{x^2+x+3}+x}\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+3}{\sqrt{x^2+x+3}+x}\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}+1}\\ =\frac{1+0}{\sqrt{1+0+0}+1}=\frac{1}{2}\end{array}$

Câu 4:

A.  −1

B.  0

C.  $\frac{1}{2}$

D.  −∞

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+1}+x-1\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}+x-1\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\left.x\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}+1-\frac{1}{x}\right)\right]\\ =-\infty \end{array}$

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }x=-\infty ;$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}+1-\frac{1}{x}\right)=2>\text{}0$

Câu 5:

A.   3.

B.   +∞.

C.   0.

D.  −∞

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Với $x\in \left(-1;0\right)$ thì $x+1>0$ và $\frac{x}{x-1}>0$

Do đó 

$\begin{array}{l}\underset{x\to {(-1)}^{+}}{\lim }\left(x^3+1\right)\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}\\ =\underset{x\to {(-1)}^{+}}{\lim }(x+1)(x^2-x+1)\sqrt{\frac{x}{(x-1)(x+1)}}\\ =\underset{x\to {(-1)}^{+}}{\lim }\sqrt{x+1}(x^2-x+1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}\\ =\sqrt{-1+\text{}1}.\text{\hspace{0.17em}[}-(-1)+\text{}1].\sqrt{\frac{-1}{-1-1}}=0\end{array}$

Câu 6:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$ 

D.  $\frac{1}{5}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt[3]{\frac{x^2-x-1}{x^2+2x}}\\ =\sqrt[3]{\frac{2^2-2-1}{2^2+2.2}}\\ =\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\end{array}$

Câu 7:

A.   0.

B.   1.

C.   2.

D.   3.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\begin{array}{l}\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }\left.x^2-4\right|=\left.{\left(\sqrt{3}\right)}^2-4\right|\\ =\left.-1\right|=1\end{array}$

Câu 8:

A.  1.

B.  −∞.

C.  0.

D.  +∞.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-x^3+1)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(\frac{1}{x^2}-1+\frac{1}{x^3}\right)\\ =+\infty \end{array}$

vì $\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim \left(\frac{1}{x^2}-1+\frac{1}{x^3}\right)}=-1<0\end{array}$

Câu 9:

A.   −∞

B.   +∞

C.  $-\frac{15}{2}$

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $\begin{array}{l}\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x-15)=2-15=-13<0\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x-2)=2-2=0\\ x-2>0,\forall x>2\end{array}\\ \Rightarrow \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-15}{x-2}=-\infty \end{array}$

Câu 10:

A. −∞.

B. +∞.

C. −152.

D. Không xác định.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\sqrt{x+2}=\sqrt{2+\text{}2}=2>0\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\sqrt{x-2}=\sqrt{2-2}=0\\ \sqrt{x-2}>0,\forall x>2\end{array}$

$\Rightarrow \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}=+\infty$