Lý thuyết Cấp số nhân (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Bài giảng Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1} = u_n. q với $n\in \mathbb{N}*$.

- Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, …., u₁,…

Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 2.

II. Số hạng tổng quát.

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n - 1} với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = – 1; q = – 2.

a) Tính u₆;

b) Hỏi 128 là số hạng thứ mấy.

Lời giải:

a) Ta có: u₆ = u₁. q⁵ = –1. (– 2)⁵ = 32.

b) Ta có: u_n = u₁.q^{n - 1} nên 128 = – 1. (– 2)^{n - 1}

$\iff$(– 2)^{n - 1} = – 128 = (– 2)⁷.

$\iff$n – 1 = 7 nên n = 8.

Vậy 128 là số hạng thứ 8.

III. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

- Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+\text{}1};k\ge 2$

( hay $\left.u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+\text{}1}}$).

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 3; u₂ = 9. Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên?

Lời giải:

Ta có: u₂ = u₁.q nên 9 = 3q.

Suy ra, công bội q = 3.

Khi đó, tổng của 8 số hạng đầu tiên là:

$S_8=\frac{u_1(1-q^8)}{1-q}=\frac{3.(1-3^8)}{1-3}=9840$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Lời giải:

Theo đầu bài ta có:

$\begin{array}{c}{u}_4=108\\ u2=3\end{array}\iff \begin{array}{c}{u}_1.q^3=108\left(1\right)\\ u._{1}q=3\left(2\right)\end{array}$

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được:

$\frac{u_1^{}{q}^3}{u_{1}q}=\frac{108}{3}$hay q² = 36.

Suy ra; q = 6 (vì q > 0)

Thay vào (2) ta được: u₁. 6 = 3 nên $u_1=\frac{1}{2}$.

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là: $u_n=\frac{1}{2}.6^n$.

Bài 2. Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm bốn số đó?

Lời giải:

Khi chèn thêm 4 số nữa vào giữa các số 160 và 5, ta được cấp số nhân với:

u₁ = 160 và u₆ = 5.

Vì u₆ = u₁.q⁵ nên 5 = 160.q⁵.

Bài 3. Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn $\begin{array}{c}{u}_2=6\\ S_3=43\end{array}$. Tính u₁?

Lời giải: 

Ta có:

Bài 4. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $\begin{array}{c}{u}_4\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_6=120\\ u_3+u_5=60\end{array}$. Tính S₇?

Lời giải:

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được: q = 2.

Thay q = 2 vào (1) ta được: u₁. 2³. (1 + 2²) = 120 nên u₁ = 3.

Khi đó:

$S_7=\frac{u_1(1-q^7)}{1-q}=\frac{3.(1-2^7)}{1-2}=381$

Vậy S₇ = 381.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Câu 1:

B. $x=\pm \sqrt{2}$

C. $x=\pm 2$

D. $x=\pm \sqrt{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $1,x^2,6-x^2$  lập thành cấp số nhân  

$\iff x^4=6-x^2$

$\iff x=\pm \sqrt{2}$

Câu 2:

B. $(x;y)=\left(-3;-1\right);\left(\frac{1}{8};\frac{1}{8}\right)$

C. $(x;y)=\left(3;1\right);\left(\frac{3}{8};\frac{1}{8}\right)$

D. $(x;y)=\left(-3;-1\right);\left(\frac{12}{8};\frac{1}{8}\right)$       

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có hệ:  $\begin{array}{l}x+6y+8x+y=2(5x+2y)\\ (x+\frac{5}{3}y)(2x-3y)={\left(y-1\right)}^2\end{array}$

 giải hệ này ta tìm được $(x;y)=\left(-3;-1\right);\left(\frac{3}{8};\frac{1}{8}\right)$

Câu 3:

A. $u_1=\frac{1}{11},u_1=\frac{81}{11}$

B. $u_1=\frac{1}{12},u_1=\frac{81}{12}$

C. $u_1=\frac{1}{13},u_1=\frac{81}{13}$

D.  $u_1=\frac{2}{11},u_1=\frac{81}{11}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

 $\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)=11\\ u_1(1+q^4)=\frac{82}{11}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}{u}_{1}q(1+q+q^2)=\frac{39}{11}\\ u_1(1+q^4)=\frac{82}{11}\end{array}$

$\Rightarrow \frac{q^4+1}{q^3+q^2+q}=\frac{82}{39}$

$\iff q=3,q=\frac{1}{3}$Với q = 3 thì $u_1(1+3^4)=\frac{82}{11}$

$\iff u_1.82=\frac{82}{11}$

$\iff u_1=\frac{1}{11}$ Với $q=\frac{1}{3}$ thì $u_1\left.1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^4\right]=\frac{82}{11}$

$\iff u_1.\frac{82}{81}=\frac{82}{11}$

$\iff u_1=\frac{81}{11}$ 

Câu 4:

A.  $q=3$

B.  $q=2$

C. $q=4$

D.  $q=\varnothing$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:  $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{n}$ phụ thuộc vào n suy ra dãy $\left(u_n\right)$  không phải là cấp số nhân.

Câu 5:

Biết:  $u_n={4.3}^n$ 

A. $q=3$

B. $q=2$

C. $q=4$

D.  $q=\varnothing$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{4.3}^{n+1}}{{4.3}^n}=3$ không phụ thuộc vào n suy ra dãy $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân với công bội $q=3$ .

Câu 6:

Biết: $u_n=\frac{2}{n}$ .

A. $q=3$

B. $q=\frac{1}{2}$

C. $q=4$

D. $q=\varnothing$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:  $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2}{n+1}:\frac{2}{n}=\frac{n}{n+1}$ phụ thuộc vào n.

Suy ra dãy $\left(u_n\right)$ không phải là cấp số nhân.

Câu 7:

B.  $b=1$

C.  $b=2$

D. Không có giá trị nào của b.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi $\begin{array}{l}b\ge 0\\ b=-\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}=-1\end{array}.$  

Vậy không có giá trị nào của b.

Câu 8:

B. $a=\pm \frac{1}{25}.$

C. $a=\pm \frac{1}{5}.$

D.  $a=\pm 5.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:  $a^2=\left(-\frac{1}{5}\right).\left(-\frac{1}{125}\right)=\frac{1}{625}$

$\iff a=\pm \frac{1}{25}$ 

Câu 9:

A. Không có giá trị nào của x

B. $x=-0,008.$

C. $x=0,008.$

D.  $x=0,004.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Dãy số: $\text{-1; }x;\text{ 0,64}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân

$\iff x^2=-0,64$  ( Phương trình vô nghiệm)

Câu 10:

A. $u_n=\frac{1}{4^n}-1$

B. $u_n=\frac{1}{4^{n-2}}$

C. $u_n=n^2+\frac{1}{4}$

D.  $u_n=n^2-\frac{1}{4}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:  $u_n=\frac{1}{4^{n-2}}\Rightarrow u_{n-1}=\frac{1}{4^{n-3}}$.

Suy ra  $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{1}{4}$( Không đổi).

Vậy $u_n=\frac{1}{4^{n-2}}$ là một cấp số nhân có công bội $q=\frac{1}{4}.$