Lý thuyết Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

A. Lý thuyết.

I. Phép chiếu song song

- Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng ∆ cắt (α). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với ∆ sẽ cắt (α) tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên (α) theo phương ∆.

Mặt phẳng (α) gọi là mặt phẳng chiếu. Phương ∆ gọi là phương chiếu.

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên (α) được gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương ∆.

Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp H’ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M thuộc H được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song nói trên.

- Chú ý. Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm.

II. Các tính chất của phép chiếu song song

- Định lí 1.

a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

III. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng.

Hình biểu diễn của hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

- Hình biểu diễn của các hình thường gặp.

+ Tam giác: Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình chiếu của một tam giác có dạng tùy ý cho trước (có  thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, …).

+ Hình bình hành: Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuoongm hình thoi, hình chữ nhật, …).

+ Hình thang: Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.

+ Hình tròn: Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, qua phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu (A’B’C’) theo phương CC’ biến M  thành M’. Trong đó M là trung điểm của BC. Tìm vị trí điểm M’.

Lời giải:

Ta có phép chiếu song song lên mp(A’B’C’) theo phương chiếu CC’:  biến C thành C’, biến B thành B’.

Do M là trung điểm của BC suy ra M’ là trung điểm của B’C’.

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua phép chiếu song song đường thẳng AA’ mặt phẳng chiếu là (A’B’C’) biến G thành G’. Tìm vị trí điểm G’.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AC.

- Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ. Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng AA’ biến B thành B’,  biến M thành M’.

- Theo đầu bài G  là trọng tâm tam giác ABC .

Suy ra B, M, G thẳng hàng và $\frac{BG}{BM}=\frac{2}{3}$.

- Khi đó ta có B’, M’, G’ thẳng hàng và $\frac{B\text{'}G\text{'}}{B\text{'}M\text{'}}=\frac{2}{3}$.

Mặt khác M là trung điểm của AC, suy ra M’ là trung điểm của A’C’.

Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm hình chiếu của điểm C trên mp(A’B’C’) theo phương chiếu DA’.

Lời giải:

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên CD = A’B’ và CD // A’B’ (cùng song song C’D’)

$\Rightarrow$ Tứ giác CDA’B’ là hình bình hành.

$\Rightarrow$ DA’// CB’.

Do đó, hình chiếu của điểm C trên mp(A’B’C’) theo phương chiếu DA’ là điểm B’.

Bài 4. Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song của một tứ diện cho trước là một hình bình hành.

Lời giải:

Cho tứ diện SABC. Trên mặt phẳng (ABC), dựng điểm D để ABCD là hình bình hành.

Khi đó qua phép chiếu song song đường thẳng SD và mặt phẳng chiếu (ABC) biến tứ diện SABC thành hình bình hành ABCD.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Phép chiếu song song. hình biểu diễn của một hình không gian

Câu 1:

A. Chéo nhau

B. Đồng qui

C. Song song

D. Thẳng hàng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Qua phép chiếu song song, tính chất chéo nhau không được bảo toàn.

Câu 2:

A. (α) // (P)

B. (α) ≡ (P)

C. (α) // l hoặc (α) ⊃ l

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Khi phương chiếu l thỏa mãn (α) // l hoặc (α)⊃ l thì các đoạn thẳng AB, BC, CA có hình chiếu lên (P) nằm trên giao tuyến của (α) và (P).

Câu 3:

A. song song

B. trùng nhau

C. song song hoặc trùng nhau

D. cắt nhau

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng nhau.

Câu 4:

A. điểm M

B. giao điểm của l với (α)

C. hình chiếu vuông góc của M lên l

D. đường nối M với giao điểm của l với ($\alpha$)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Hình chiếu của một điểm nằm trên mặt phẳng qua phép chiếu song song lên mặt phẳng đó là chính điểm đó.

Câu 5:

A. một đường thẳng

B. một đoạn thẳng

C. một mặt phẳng

D. một điểm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Hình chiếu của đường thẳng qua phép chiếu song song theo phương song song với đường thẳng đó trên mặt phẳng chiếu là một điểm. Điểm đó là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Câu 6:

A. MM′ // l

B. MM′ // ($\alpha$)

C.MM′ ⊥ ($\alpha$)

D. M′ ∈ ($\alpha$)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì M′ là hình chiếu của M nên MM′ // l nên A đúng.

Lại có l ⊥ ($\alpha$) ⇒MM′ ⊥ ($\alpha$) nên C đúng, B sai.

Hiển nhiên M′ ∈ (α) nên D đúng.

Câu 7:

A. AB

B. AD

C. BC

D. BD 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Xét phép chiếu theo song song theo phương CB′ lên mặt phẳng (ABD).

Ta có: B ∈ (ABD) nên hình chiếu của B qua phép chiếu là chính nó.

Lại có: A′D // CB′ nên hình chiếu của A′ qua phép chiếu là điểm D.

Do đó hình chiếu của A′B qua phép chiếu là BD.

Câu 8:

A. M′N′//MN

B. M′N′⊂A′B′

C. MM′//AA′

D. M′N′//AB

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Qua M kẻ đường thẳng song song với AA′ cắt A′B′ tại M' $\Rightarrow M{M}^{\text{'}}//A{A}^{\text{'}}//C{C}^{\text{'}}$ nên M′ là hình chiếu của M qua phép chiếu bài cho.

Tương tự $N^{\text{'}}\in A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ mà $NN\text{'}//BB\text{'}$ nên N' cũng là ảnh của N qua phép chiếu bài cho.

Khi đó $\begin{array}{l}M\text{'}N\text{'}\subset A\text{'}B\text{'}\\ MM\text{'}//AA\text{'}\\ M\text{'}N\text{'}//AB\end{array}$ nên các đáp án B, C, D đều đúng.

Đáp án A sai vì MN và M′N′ không song song.

Câu 9:

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Hình thoi

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Do phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên không thể có đáp án A.

Câu 10:

A. hình vuông

B. hình tứ giác

C. hình thang

D. hình ngũ giác

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…)