Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

A. Lý thuyết.

I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau:

- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.

- d và (α) chỉ có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu $d\cap \left(\alpha \right)=M$.

- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu $d\subset \left(\alpha \right)$.

II. Tính chất

- Định lí. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).

- Định lí. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.

- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

- Định lí. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O₁ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF, gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) OO₁ // mp (BEC).

b) OO₁ // mp (AFD)

Lời giải.

a)  Xét tam giác ACE có O; O₁ lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành).

Suy ra OO₁ là đường trung bình trong tam giác ACE và OO₁ // EC.

Mà EC thuộc mp (BEC) nên OO₁ // mp (BEC)  (đpcm).

b) Tương tự; OO₁ là đường trung bình của tam giác BFD nên OO₁ // FD.

Mà FD nằm trong mp(AFD)

Suy ra: OO₁ // mp (AFD) (đpcm).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC và (α)  là mặt phẳng đi qua H song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là hình gì?

Lời giải:

+ Qua H kẻ đường thẳng song song AB và đường thẳng này cắt BC, AC lần lượt tại M, N.

+ Từ N kẻ NP song song với CD $\left(P\in AD\right)$

 Từ P kẻ PQ song song với AB $\left(Q\in BD\right)$.

+ Ta có: MN // PQ // AB

Suy ra 4 điểm M; N; P và Q đồng phẳng .

Suy ra thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là tứ giác MNPQ.

+ Ta chứng minh MNPQ là hình bình hành.

Trước tiên, ta chứng minh  PN // QM.

Ta có:

$\begin{array}{c}PN\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}CD\\ \begin{array}{l}PN\subset mp\left(MNPQ\right),\\ CD\subset mp\left(BCD\right)\\ QM=mp\left(MNPQ\right)\cap \\ mp\left(BCD\right)\end{array}\end{array}$

Suy ra: QM // PN // CD

Lại có: PQ // MN

Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB  sao cho AQ = 2QB. Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh: GQ // mp (BCD).

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BD.

Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên  $\frac{A\text{}G}{AM}=\frac{2}{3}$ (1)

Điểm Q thuộc AB  thỏa mãn: AQ = 2QB nên $\frac{AQ}{AB}=\frac{2}{3}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra  $\frac{A\text{}G}{AM}=\frac{AQ}{AB}=\frac{2}{3}$.

Suy ra, GQ // BD  (định lí Ta-let đảo)

Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD).

 Do đó, GQ // mp(BCD)   (đpcm).

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC, AC, BD. Chứng minh:

a) P, R, Q, S  đồng phẳng

b) P, M, N, Q  đồng phẳng.

c) M, R, N, S  đồng phẳng.

Lời giải:

a) Tam giác ABD có PS là đường trung bình nên PS // AB.   (1)

Tam giác ABC có RQ là đường trung bình nên RQ // AB  (2).

Từ (1) và (2) suy ra PS // RQ nên 4 điểm P, R, Q, S  đồng phẳng  (đpcm).

b) Tương tự ý a, ta có được PM // NQ // BD

Suy ra 4 điểm P, M, N, Q  đồng phẳng.

c) Ta có NR // AD // MS suy ra M, R, N, S  đồng phẳng.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho: $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{4}$. Trên cạnh  AC lấy điểm N sao cho MN // mp(BCD) . Tính tỉ số $\frac{AN}{NC}$?

Lời giải:

- Từ  MN // mp( BCD) ta chứng minh MN // BC .

Thật vậy, giả sử MN cắt BC  tại P.

Mà BC ⊂ mp(BCD)

 Đường thẳng MN cắt mp(BCD) tại P (mâu thuẫn với MN // mp(BCD)).

Vậy MN // BC.

- Xét tam giác ABC có: MN // BC

$\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{4}$ ( định lí Ta- let).

$\Rightarrow \frac{AN}{NC}=\frac{1}{3}$.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Tìm giao tuyến của mp(IBC) và mp(SAD) và chứng minh giao tuyến đó song song với mp(SBC).

Lời giải:

- Ta tìm giao tuyến của mp(IBC) và mp(SAD) .

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Câu 1:

B. 1

C. 2

D. vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo tính chất: Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Câu 2:

A. hình tam giác.

B. hình vuông.

C. hình thoi.

D. hình chữ nhật.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

 Gọi M  là trung điểm của AC .Ta có: $\begin{array}{l}M\in \left(\alpha \right)\cap \left(ABC\right)\\ \left(\alpha \right)\text{//}AB\subset \left(ABC\right)\end{array}$

$\Rightarrow \left(\alpha \right)\cap \left(ABC\right)=MN\text{//}AB$ , N  là trung điểm BC  . $\begin{array}{l}N\in \left(\alpha \right)\cap \left(BCD\right)\\ \left(\alpha \right)\text{//}CD\subset \left(BCD\right)\end{array}$

$\Rightarrow \left(\alpha \right)\cap \left(BCD\right)=NP\text{//}CD$,  P là trung điểm BD  .$\begin{array}{l}P\in \left(\alpha \right)\cap \left(BDA\right)\\ \left(\alpha \right)\text{//}AB\subset \left(BDA\right)\end{array}$

$\Rightarrow \left(\alpha \right)\cap \left(BDA\right)=PQ\text{//}AB$ ,  Q là trung điểm  AD.

$\begin{array}{l}MQ=\left(\alpha \right)\cap \left(ADC\right)\\ \left(\alpha \right)\text{//}CD\subset \left(ADC\right)\end{array}\Rightarrow QM\text{//}CD$  Khi đó thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Lại có: $AB=CD$  suy ra  $MN=NP$.

Vậy thiết diện cần tìm là hình thoi MNPQ .

Câu 3:

A. Tam giác.

B. Hình thang.

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

 Ta có 

$\begin{array}{l}AD//BC\subset \left(MBC\right)\\ AD\not\subset \left(MBC\right)\end{array}\Rightarrow AD//\left(MBC\right).$

Ta có $\left(MBC\right)//AD$ nên $\left(MBC\right)$ và $\left(SAD\right)$ có giao tuyến song song AD

Trong $\left(SAD\right)$, vẽ $MN//AD\left(N\in SD\right)$ $\Rightarrow MN=\left(MBC\right)\cap \left(SAD\right).$

Thiết diện của S.ABCD cắt bởi $\left(MBC\right)$ là tứ giác BCNM. Do $MN//BC$ (cùng song song AD) nên BCNM là hình thang.

Câu 4:

A. Nếu $b//\left(\alpha \right)$ thì $b//a.$

B. Nếu b cắt $\left(\alpha \right)$ thì b cắt a 

C. Nếu $b//a$ thì $b//\left(\alpha \right).$

D. Nếu b cắt $\left(\alpha \right)$ và $mp\left(\beta \right)$ chứa b thì giao tuyến của $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ là đường thẳng cắt cả a và b.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$\left.\begin{array}{l}a\subset \left(\alpha \right)\\ b\not\subset \left(\alpha \right)\\ a//b\end{array}\right\}\Rightarrow b//\left(\alpha \right).$

Câu 5:

A. Nếu $d//\left(\alpha \right)$ thì trong $\left(\alpha \right)$ tồn tại đường thẳng $\left(a\right)$ sao cho $a//d$

B. Nếu $d//\left(\alpha \right)$ và đường thẳng $b\subset \left(\alpha \right)$ thì $b//d$

C. Nếu $d//c\subset \left(\alpha \right)$ thì $d//\left(\alpha \right)$

D. Nếu $d\cap \left(\alpha \right)=A$ và đường thẳng $d^{\text{'}}\subset \left(\alpha \right)$ thì d và $d^{\text{'}}$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Khi $\left(d\right)//\left(\alpha \right)$ và đường thẳng $\left(b\right)\subset \left(\alpha \right)$ thì ngoài trường hợp $\left(b\right)//\left(d\right)$ còn có trường hợp $\left(b\right)$ và $\left(d\right)$ chéo nhau.

Câu 6:

A.  $a//b$

B. a và  b cắt nhau.

C.  a và b chéo nhau.

D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Cho  $mp\left(P\right)$ qua $A,B,C$  không thẳng hàng.

Giả sử $a,b,c$ phân biệt là các đường thẳng nằm ngoài $mp\left(P\right)$ thỏa mãn $a//AB,$ $b//AB,$ $c//BC.$  Trong trường hợp này $a//b.$

Nếu a và c đồng phẳng thì a cắt c

Nếu  a và c không đồng phẳng thì a và c chéo nhau.

Câu 7:

A. Đường thẳng $a\subset mp\left(P\right)$  và $mp\left(P\right)//$ đường thẳng $\Delta \Rightarrow$ $a//\Delta .$

B. $\Delta //mp\left(P\right)\Rightarrow$ Tồn tại đường thẳng $\Delta \text{'}\subset mp\left(P\right):\Delta \text{'}//\Delta .$

C. Nếu đường thẳng $\Delta$  song song với $mp\left(P\right)$ và $\left(P\right)$ cắt đường thẳng a thì $\Delta$ cắt đường thẳng

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì 2 đường thẳng đó song song nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

 Ta có   $\left.\begin{array}{l}\Delta //\Delta \text{'}\\ \Delta \text{'}\subset \left(P\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta //\left(P\right).$

Câu 8:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng là

• Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

• Đường thẳng song song với mặt phẳng.

• Đường thẳng cắt mặt phẳng.

Câu 9:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Theo định lý 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Câu 10:

A.  0 

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi  $\left(\alpha \right)$ là  mp chứa a và song song b. $\left(\alpha \right)$ có vtpt $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left.\overrightarrow{u_a};\overrightarrow{u_b}\right]$ Đồng thời $\left(\alpha \right)$ qua A với $A\in a.$

Do đó $\left(\alpha \right)$ xác định duy nhất.