Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 2)

A. Lý thuyết

1. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\begin{array}{c}\frac{-\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha =a\end{array}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi$ và $x=\pi -\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát: 

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = 0:  Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

- Ví dụ 1. Giải các phương trình: 

Lời giải:

a) Vì $\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ nên

$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{3}$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi$$=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

b) Ta có: $\sin x=\frac{2}{3}$ khi $x=\arcsin \frac{2}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

$x=\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$ và $x=\pi -\arcsin \frac{2}{3}+$$k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

2. Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left.\text{cosx }\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left.\text{\hspace{0.17em}a }\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: 

b) Phương trình cos x= cosβ⁰ có các nghiệm là $x=\pm {\beta }^0+\text{\hspace{0.17em}}k{360}^0;k\in \mathbb{Z}$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\begin{array}{c}0\le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha =a\end{array}$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x=\pm \arccos a\text{\hspace{0.17em}}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

3. Phương trình tanx = a.

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x=\arctan a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình:

Lời giải:

4. Phương trình cotx = a

Điều kiện xác định của phương trình $x\ne k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Kí hiệu x = arccota (đọc là ac– côtang – a; nghĩa là cung có côtang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình cotx = a là: $x=\mathrm{arccot}a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cotx = cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; cot f(x) = cot g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình cot x = cot β⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

Lời giải:

- Ghi nhớ.

Mỗi phương trình sinx = a (|a| ≤ 1); cosx = a (|a| ≤ 1), tanx = a; cotx = a có vô số nghiệm.

Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Bài 2. Giải các phương trình:

Lời giải:

Bài 3. Giải các phương trình:

Lời giải:

Khi đó:

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm phương trình đã cho là $x=\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

Bài 4. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm phương trình là

$x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3};k\ne 3m+\text{}1;k;m\in \mathbb{Z}$

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 1:

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0$ 

$\iff \begin{array}{l}\cos x+1\ne 0\\ \sin 3x=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x\ne \pi +k2\pi \\ x=\frac{k\pi }{3}\end{array},k\in \mathbb{Z}$

Do $x\in \left.2\pi ;4\pi \right]$ nên  

$x\in \left.2\pi ;\frac{7\pi }{3};\frac{8\pi }{3};\frac{10\pi }{3};\frac{11\pi }{3};4\pi \right\}$

Vậy có 6 nghiệm $x\in \left.2\pi ;4\pi \right]$.

Câu 2:

A. $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$

B. $\sin 2x=0\iff x=k\pi$

C. $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

D. $\sin 2x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

$\sin 2x=1$

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 3:

A. $m\le 2$

B.  $-2<m<2$

C. $m\ge 2$ hoặc $m\le -2$

D. $-2\le m\le 2$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình có nghiệm khi

${\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2\ge m^2\iff m^2\le 4$

$\iff -2\le m\le 2$.

Câu 4:

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Phương trình  $2\sin x-1=0\iff \sin x=\frac{1}{2}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array};k\in \mathbb{Z}$ 

Do $-\pi <x<\pi$ nên $x=\frac{\pi }{6};x=\frac{5\pi }{6}$.

Câu 5:

A. $\left.m\right|\le 4$

B. $\left.m\right|\ge 4$

C. $m\le -4$

D. $m\ge 4$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi  

$m^2+9\ge 25\iff \left.m\right|\ge 4$

Câu 6:

A. $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$

B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$

C.  $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$

D. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

$\sqrt{3}\tan x+3=0$

$\iff \tan x=-\sqrt{3}$

$\iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 7:

A. $\begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}$

B. $m>1$

C. $-1\le m\le 1$

D.  $m<-1$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có  $\mathrm{cosx}-m=0$

$\iff cosx=m$

Phương trình vô nghiệm  

$\iff \left.m\right|>1\iff \begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}$.

Câu 8:

A. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

B. Vô nghiệm

C. $x=k2\pi$

D. x = 0.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có ${\cos }^{2}x+2\cos x-3=0$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=1\left(n\right)\\ \cos x=-3\left(l\right)\end{array}$ 

$\cos x=1\iff x=k2\pi$

Câu 9:

A. $x=\frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}$

B. $x=\frac{-\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}$

C. $x=\pm \frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}$

D. $x=\pm \frac{\pi }{15}+k2\pi$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có  $12°=\frac{\pi }{15}$

$\cos 3x=\cos 12°$

$\iff \cos 3x=\cos \frac{\pi }{15}$

$\iff 3x=\pm \frac{\pi }{15}+k2\pi$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}$.

Câu 10:

A. $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

B. $\frac{\pi }{3}$

C. $\frac{\pi }{8}$

D. $\frac{\pi }{12}$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x+{\sin }^{2}3x=2$

$\iff \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=2$

$\iff \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+1=0$

$\iff 2\cos x\cos 3x+2{\cos }^{2}3x=0$

$\iff \cos 3x\left(\cos x+\cos 3x\right)=0$

$\iff \begin{array}{l}\cos 3x=0\\ \cos x+\cos 3x=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3x=k\pi \\ \cos x=-\cos 3x\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{3}\\ \cos x=\cos \left(\pi -3x\right)\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{3}\\ x=\pi -3x+k2\pi \\ x=3x-\pi +k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{2}-k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$