Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

A. LÝ THUYẾT

1. Giới hạn $\frac{\mathbf{s}\mathbf{\text{inx}}}{\mathbf{x}}$

Định lý 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}=1.$

Ví dụ 1. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sin \left(\mathrm{x}-1\right)}{{\mathrm{x}}^2-1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+2\right)}=\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\frac{1}{\mathrm{t}+2}\right)=\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{t}+2}=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}={\left.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^2$

Lời giải

$\mathrm{y}\text{'}=2{\left.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^{\text{'}}.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)=2\left.\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\text{'}}\right].\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\mathrm{y}\text{'}=4\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)$

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)$ tại $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}$

$\Rightarrow \mathrm{y}\text{'}=\left(\mathrm{cosu}\right)\text{'}=-\mathrm{u}\text{'}.\mathrm{sinu}=-{\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right).$

Thay $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ vào y’ ta được:

$\mathrm{y}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại $\text{x=}\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\text{cos}}^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$\mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left(2+\mathrm{tanx}\right)\text{'}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}}=\frac{\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}}=\frac{1}{2.{\cos }^2\mathrm{x}\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}}$

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (cotx)’ = $-\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $-\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\sin }^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x².

Lời giải

y’ = (cot x²)’ = (x²)’.$\frac{-1}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$=$-\frac{2\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các đạo hàm sau:

a) $\mathrm{y}=\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}$

b) $\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{cosx}}{3{\sin }^3\mathrm{x}}+\frac{4}{3}\mathrm{cotx}$        

c)  $\mathrm{y}={\cos }^2\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)$        

d) $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}$

Lời giải

a)    

$\mathrm{y}\text{'}=\frac{\left(3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}\right)\text{'}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}}=\frac{6\mathrm{tanx}.\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}-\frac{2}{{\sin }^{2}2\mathrm{x}}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}}=\frac{\frac{6\mathrm{sinx}}{{\text{cos}}^3\mathrm{x}}-\frac{1}{2.{\sin }^2\mathrm{x}.{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{3{\tan }^2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x}}}$

b)

$\mathrm{y}\text{'}={\left(-\frac{\mathrm{cosx}}{3{\sin }^3\mathrm{x}}+\frac{4}{3}\mathrm{cotx}\right)}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{sinx}.3{\sin }^3\mathrm{x}+\mathrm{c}{\text{osx.9.sin}}^2\mathrm{x}.\mathrm{c}\text{osx}}{{\left(3{\sin }^3\mathrm{x}\right)}^2}-\frac{4}{3{\sin }^2\mathrm{x}}=\frac{{\sin }^2\mathrm{x}+3{\cos }^2\mathrm{x}}{3{\sin }^4\mathrm{x}}-\frac{4}{3{\sin }^2\mathrm{x}}=\frac{3{\cos }^2\mathrm{x}-3{\sin }^2\mathrm{x}}{3{\sin }^4\mathrm{x}}=\frac{{\text{cos}}^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}}{{\sin }^4\mathrm{x}}$

c)      

$\mathrm{y}\text{'}={\left({\cos }^2\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right)}^{\text{'}}=2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).{\left.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]}^{\text{'}}=2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).{\left.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]}^{\text{'}}=2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\left.-\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)\right]{\left({\sin }^3\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}=-2.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right)3{\sin }^2\mathrm{x}.\mathrm{cosx}=-6.\cos \left({\sin }^3\mathrm{x}\right).\sin \left({\sin }^3\mathrm{x}\right){\sin }^2\mathrm{x}.\mathrm{cosx}$

d) 

$\text{y'=}\frac{\mathrm{x}\text{'}.\mathrm{sinx}-\mathrm{x}.{\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\mathrm{sinx}\right)}^2}=\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{x}.\mathrm{cosx}}{{\left(\mathrm{sinx}\right)}^2}$

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.

a) $\mathrm{y}={\sin }^6\mathrm{x}+{\cos }^6\mathrm{x}+3{\sin }^2{\mathrm{xcos}}^2\mathrm{x}$

b) $\mathrm{y}={\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)+{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)+$${\cos }^2\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)-2{\sin }^2\mathrm{x}$

Lời giải

a)

$\mathrm{y}\text{'}={\left({\sin }^6\mathrm{x}+{\cos }^6\mathrm{x}+3{\sin }^2{\mathrm{xcos}}^2\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}=6{\sin }^5\mathrm{xcosx}-6{\cos }^5\mathrm{x}.\mathrm{s}\text{inx}+6{\mathrm{sinxcos}}^3\mathrm{x}-6{\sin }^3\mathrm{xcosx}=6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^4\mathrm{x}-{\cos }^4\mathrm{x}\right)+6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right)=6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^2\mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}\right)\left({\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}\right)+6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right)=6\mathrm{sinxcosx}\left({\sin }^2\mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}\right)+6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right)=-6\mathrm{sinxcosx}\left({\text{cos}}^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right)+6\mathrm{sinxcosx}\left({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}\right)=0$

b)

$y\text{'}=2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)-2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)+2\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{x}\right)-2\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{x}\right)-4\mathrm{sinxc}\text{osx}=\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-2\mathrm{x}\right)-\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{x}\right)+\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}-2\mathrm{x}\right)-\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{x}\right)-2\sin 2\mathrm{x}=-2\mathrm{c}\text{os}\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)\sin 2\mathrm{x}-2\cos \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)\text{sin2x}-2\sin 2\mathrm{x}=\sin 2\mathrm{x}+\sin \text{2x}-2\sin 2\mathrm{x}=0$

Bài 3. Tìm f’(2) biết f(x) = x².sin(x – 2).

Lời giải

Ta có : f’(x) = 2x.sin(x – 2) + x²cos(x – 2)

Khi đó: f’(2) = 2.2.sin(2 – 2) + 2².cos(2 – 2)

                     = 4.0 + 4.1

                     = 0 + 4

                     = 4.

Vậy f’(2) = 4.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3:Đạo hàm của hàm số lượng giác

Câu 1.

B. $\frac{8\pi }{3}$ 

C. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

D. 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\left.\frac{2}{\cos \left(\pi x\right)}\right]\text{'}\\ =2.\frac{-\left(\cos \left(\pi x\right)\right)\text{'}}{{\cos }^2\left(\pi x\right)}\\ =2.\pi \frac{\sin \left(\pi x\right)}{{\cos }^2\left(\pi x\right)}\end{array}$ $f\text{'}\left(3\right)=2\pi .\frac{\sin 3\pi }{{\cos }^{2}3\pi }=0$

Câu 2.

B. $y\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=1$

C. $y\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$

D. $y\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\left(\cos 3x\right)\text{'}\sin 2x+\cos 3x\left(\sin 2x\right)\text{'}\\ =-3\sin 3x.\sin 2x+2\cos 3x.\cos 2x\end{array}$$\begin{array}{l}y\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-3\sin 3\frac{\pi }{3}.\sin 2\frac{\pi }{3}+2\cos 3\frac{\pi }{3}.\cos 2\frac{\pi }{3}\\ =-\mathrm{3.0.}\frac{\sqrt{3}}{2}+2.(-1).\frac{-1}{2}=1\end{array}$

Câu 3.

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{2}{\pi }$

D. $\frac{2\sqrt{2}}{\pi }$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin \sqrt{x}\\ =\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\cos \sqrt{x}-\sin \sqrt{x}\right)\end{array}$$\begin{array}{l}f\text{'}\left(\frac{{\pi }^2}{16}\right)=\frac{1}{2\sqrt{{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2}}\left(\cos \sqrt{{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2}-\sin \sqrt{{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2}\right)\\ =\frac{1}{2.\frac{\pi }{4}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\end{array}$

Câu 4.

B. 0

C. 2

D. -2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$f\text{'}\left(x\right)=2\cos \left(\frac{5\pi }{6}+x\right)$

$f\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=2\cos \pi =-2$

Câu 5.

B. $\sqrt{3}$

C. $-\sqrt{3}$

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$y\text{'}=\frac{1}{{\cos }^2\left(x-\frac{2\pi }{3}\right)}$

$f\text{'}\left(0\right)=\frac{1}{{\text{cos}}^2\left(\frac{-2\pi }{3}\right)}=\frac{1}{{\left(\frac{-1}{2}\right)}^2}=4$

Câu 6.

B. $-\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot$

C.  1

D.  0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 

$y^{\text{'}}=-\sqrt{2}.\frac{{\left(\cos 3x\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}3x}=\frac{3\sqrt{2}.\sin 3x}{{\cos }^{2}3x}$

Do đó $y\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt{2}.\sin \pi }{{\cos }^2\pi }=0$ 

Câu 7.

B. $y\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=-1$

C.  $y\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$

D.  $y\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{\left(\cos 2x\right)\text{'}.\left(1-\sin x\right)-\cos 2x\left(1-\sin x\right)\text{'}}{{\left(1-\sin x\right)}^2}\\ =\frac{-2\sin 2x\left(1-\sin x\right)+\cos 2x.cosx}{{\left(1-\sin x\right)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}y\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{-2.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}}{{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2}\\ =\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}}=4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\\ =-2\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\sqrt{3}\end{array}$

Câu 8.

B.  $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.  0

D. $\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$y\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{\tan x+\text{}\cot x}}.(\tan x+\cot x)\text{'}$$\Rightarrow y\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{\tan x+\cot x}}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)$

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\tan \frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}}}\left(\frac{1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}\right)}-\frac{1}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}\right)}\right)\\ =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2-2\right)=0\end{array}$

Câu 9.

A. $\frac{-x^2.\sin 2x}{{(\cos x+x\sin x)}^2}$

B. $\frac{-x^2.{\sin }^{2}x}{{(\cos x+x\sin x)}^2}$

C. $\frac{-x^2.\cos 2x}{{(\cos x+x\sin x)}^2}$

D.  ${\left(\frac{x}{\cos x+x\sin x}\right)}^2$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

 

Câu 10.

B. $y\text{'}=8\sin 8x+\frac{5}{2}cos5x.\sin 10x$

C. $y\text{'}=8\sin x+\frac{45}{2}cos5x.\sin 10x$

D. $y\text{'}=8\sin 8x+\frac{45}{2}cos5x.\sin 10x$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bước đầu tiên áp dụng ${\left(u+v\right)}^{/}$   $y\text{'}={\left(2{\sin }^{2}4x\right)}^{/}-3{\left({\cos }^{3}5x\right)}^{/}$ Tính ${\left({\sin }^{2}4x\right)}^{/}$ : Áp dụng ${\left(u^{\alpha }\right)}^{/}$ , với $u=\sin 4x,$  ta được: $\begin{array}{l}{\left({\sin }^{2}4x\right)}^{/}=2\sin 4x.{\left(\sin 4x\right)}^{/}\\ =2\sin 4x.\cos 4x{\left(4x\right)}^{/}\\ =4\sin 8x.\end{array}$ Tương tự:   $\begin{array}{l}{\left({\cos }^{3}5x\right)}^{/}=3{\cos }^{2}5x.{\left(\cos 5x\right)}^{/}\\ =3{\cos }^{2}5x.\left(-\sin 5x\right).{\left(5x\right)}^{/}\end{array}$ 

$\begin{array}{l}=-15{\cos }^{2}5x.\sin 5x\\ =\frac{-15}{2}cos5x.\sin 10x.\end{array}$

Kết luận: 

$y\text{'}=8\sin 8x+\frac{45}{2}cos5x.\sin 10x$