Lý thuyết Cấp số cộng (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa.

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

u_n+1 = u_n + d với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$   (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; công sai d = 3.

II. Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = 1; d =5.

a) Tìm u₁₀.

b) Số 106 là số hạng thứ bao nhiêu?

Lời giải:

a) Số hạng thứ 10 là u₁₀ = u₁ + (10 – 1)d = 1 + 9.5 = 46.

b) Ta có: u_n = u₁ + (n – 1)d. Vì u_n =106 nên:

106 = 1 + (n – 1).5

105 = (n – 1).5

21 = n – 1 nên n = 22.

Vậy 106 là số hạng thứ 22.

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+\text{}1}}{2};k\ge 2$

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó:  $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

- Chú ý: vì u_n = u₁ + (n – 1)d nên ta có: $S_n=n{u}_1^{}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{n(n-1)}{2}d$.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (u_n) với u_n = 2n + 5.

a) Tìm u₁ và d.

b) Tính tổng 40 số hạng đầu tiên.

c) Biết S_n = 187, tìm n.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 2.1 + 5 = 7; u₂ = 2.2 + 5 = 9.

Suy ra, d = u₂ – u₁ = 2.

b) Tổng 40 số hạng đầu tiên là:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn u₁ = 12; u₆ = – 18. Tìm u₈.

Lời giải:

Theo đề bài ta có;

$\begin{array}{c}{u}_1=12\\ u_6=-18\end{array}\iff \begin{array}{c}{u}_1=12\\ u_1\text{}+\text{\hspace{0.17em}}5d=-18\end{array}\iff \begin{array}{c}{u}_1=12\\ d=-6\end{array}$

Suy ra: u₈ = u₁ + 7d = 12 + 7.(– 6) = – 30.

Bài 2.Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau biết:

Lời giải:

Vậy số hạng đầu $u_1=\frac{21}{8}$ và công sai $d=\frac{9}{4}$.

b)

$\begin{array}{c}{u}_3+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_5=14\\ u_2.u_4=21\end{array}\iff \begin{array}{c}{u}_1+\text{}2d+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_1+\text{\hspace{0.17em}}4d=14\\ (u_1+\text{}d).(u_1+\text{}3d)=21\end{array}\iff \begin{array}{c}2u_1+\text{\hspace{0.17em}}6d=14\left(1\right)\\ (u_1+d).(u_1+\text{}3d)=21\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) suy ra: u₁ = 7 – 3d thay vào (2) ta được:

(7 – 3d + d).(7 – 3d + 3d) = 21

(7 – 2d). 7 = 21

7 – 2d = 3 nên d = 2

Suy ra: u₁ = 7 – 3.2 = 1.

Vậy u₁ = 1 và công sai d = 2.

Bài 3. Cho cấp số cộng (u_n) với u_n = 3n + 1.

a) Tìm u₁ và d.

b) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên.

c) Biết S_n = 209, tìm n.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 3.1 + 1 = 4; u₂ = 3.2 + 1 = 7.

Suy ra, d = u₂ – u₁ = 3.

b) Tổng 20 số hạng đầu tiên là:

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Câu 1:

C. Dãy số :$–2;–2;–2;–2;\dots$là cấp số cộng $\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ d=0\end{array}$

D. Dãy số: $0,1;0,01;0,001;0,0001;\dots$ không phải là một cấp số cộng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 2:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Câu 3. Cho một cấp số cộng có $u_1=-3;u_6=27$. Tìm d ?

A. $d=5$.

B. $d=7$.

C. $d=6$.

D. $d=8$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

 Ta có: $u_6=27\iff u_1+5d=27$

$\iff -3+5d=27\iff d=6$ 

Câu 4: Cho một cấp số cộng có $u_1=\frac{1}{3};u_8=26$. Tìm ?

A. $d=\frac{11}{3}$

B. $d=\frac{3}{11}$

C. $d=\frac{10}{3}$

D. $d=\frac{3}{10}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

 Ta có:  $u_8=26\iff u_1+7d=26$

$\iff \frac{1}{3}+7d=26\iff d=\frac{11}{3}$

Câu 5:

A. 1,6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left(u_n\right)$ là:  

$u_n=u_1+\left(n-1\right).0,1$

$\Rightarrow u_7=-0,1+\left(7-1\right).0,1=\frac{1}{2}$

Câu 6:

A. 65^o ; 90^o.

B. 75^o ; 80^o.

C. 60^o ; 95^o.

D. 60^o ; 90^o.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có :$u_1+u_2+u_3=180$

$\iff 25+25+d+25+2d=180$

$\iff d=35$.

Vâỵ $u_2=60;u_3=90.$

Câu 7:

A. $a^2+c^2=2ab+2bc$.

B. $a^2-c^2=2ab-2bc$.

C. $a^2+c^2=2ab-2bc$.

D. $a^2-c^2=ab-bc$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

$b-a=c-b$

$\iff {\left(b-a\right)}^2={\left(c-b\right)}^2$

$\iff a^2-c^2=2ab-2bc$.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 8:

A. $a^2+c^2=2ab+2bc+2ac$

B. $a^2-c^2=2ab+2bc-2ac$

C. $a^2+c^2=2ab+2bc-2ac$

D. $a^2-c^2=2ab-2bc+2ac$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$a,b,c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

$b-a=c-b$

$\iff {\left(b-a\right)}^2={\left(c-b\right)}^2$

$\iff a^2-c^2=2ab-2bc$

$\iff a^2+c^2=2c^2+2ab-2bc$

$=2ab+2c\left(c-b\right)$

$=2ab+2c\left(b-a\right)$

$=2ab+2bc-2ac$

Câu 9:

A.  $u_{100}=-243$

B.  $u_{100}=-295$

C.  $u_{100}=-231$

D.  $u_{100}=-294$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Từ giả thiết bài toán, ta có:

$\begin{array}{l}{u}_1+4d+3(u_1+2d)-(u_1+d)\\ =-21\\ 3(u_1+6d)-2(u_1+3d)=-34\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}{u}_1+3d=-7\\ u_1+12d=-34\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}$.

Số hạng thứ 100 của cấp số: $u_{100}=u_1+99d=-295$

Câu 10:

A. $\begin{array}{l}A={10}^0\\ B={120}^0\\ C={50}^0\end{array}$

B. $\begin{array}{l}A={15}^0\\ B={105}^0\\ C={60}^0\end{array}$

C.  $\begin{array}{l}A=5^0\\ B={60}^0\\ C={25}^0\end{array}$

D.   $\begin{array}{l}A={20}^0\\ B={60}^0\\ C={100}^0\end{array}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :

$\begin{array}{l}A+B+C={180}^0\\ A+C=2B\\ C=5A\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}C=5A\\ B=3A\\ 9A={180}^0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}A={20}^0\\ B={60}^0\\ C={100}^0\end{array}$