Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lí 1

Hàm số y = xⁿ  có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (xⁿ)’ = n.x^n-1.

2. Định lí 2

Hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x³;

b) Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x²;

b) Ta có: $\mathrm{y}\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: $\mathrm{y}\text{'}\left(5\right)=\frac{1}{2\sqrt{5}}.$

II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

${\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{v}}\right)}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{u}\text{'}\mathrm{v}-\mathrm{u}.\mathrm{v}\text{'}}{{\mathrm{v}}^2}\left(\mathrm{v}=\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0\right)$.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. ${\left(\frac{1}{\mathrm{v}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{v}\text{'}}{{\mathrm{v}}^2}.$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x⁵ – 2x² + 3x + 6;

b) y = (x² + 1)(2x – 3);

c) $\mathrm{y}=\frac{7{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-1}$.

Lời giải

a) y = x⁵ – 2x² + 3x

$\Rightarrow$y’ = (x⁵ – 2x² + 3x)’

    = (x⁵)’ – (2x²)’ + (3x)’

   = 5x⁴ – 4x + 3.

b) y = (x² + x).2x

$\Rightarrow$y’ = (x² + x)’.2x + (x² + 1)(2x)’

   = [(x²)’ + x’].2x + (x² + 1).2

   = (2x + 1).2x + 2x² + 2

   = 4x² + 2x + 2x² + 2

   = 6x² + 2x + 2.

c)

$\mathrm{y}=\frac{7{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-1}\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{{\left(7{\mathrm{x}}^2\right)}^{\text{'}}\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)-\left(7{\mathrm{x}}^2\right){\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2}=\frac{14\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)-7{\mathrm{x}}^2\left(2{\mathrm{x}}^2-2\right)}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2}=\frac{14{\mathrm{x}}^4-28{\mathrm{x}}^2-14{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2}=\frac{-28{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2}$

III. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là  thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: ${\text{y}}_{\mathrm{x}}^{\text{'}}={\mathrm{y}}_{\mathrm{u}}^{\text{'}}.{\mathrm{u}}_{\mathrm{x}}^{\text{'}}$.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: $\mathrm{y}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}$

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$ thì $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{u}}$

$\mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\right)\text{'}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}}$$=\frac{2\mathrm{x}+2}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}}$.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1$

2. $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1$

3. $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}-{\mathrm{x}}^2+1$

4. $\mathrm{y}=-2{\mathrm{x}}^4+\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2+1$

5. $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-3}$                                                      

6. $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}+1}$

Lời giải

1. Ta có: $\mathrm{y}\text{'}={\left(-{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}=3{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+2$

2. Ta có: $\mathrm{y}\text{'}={\left(-{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}=-3{\mathrm{x}}^2+3$

3. Ta có: $\mathrm{y}\text{'}={\left(\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}-{\mathrm{x}}^2+1\right)}^{\text{'}}={\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}$

4. Ta có: $\mathrm{y}\text{'}={\left(-2{\mathrm{x}}^4+\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2+1\right)}^{\text{'}}=-8{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}$

5. Ta có:

 $\mathrm{y}\text{'}=\frac{(2\mathrm{x}+1)\text{'}(\mathrm{x}-3)-(\mathrm{x}-3)\text{'}(2\mathrm{x}+1)}{{(\mathrm{x}-3)}^2}=\frac{-7}{{(\mathrm{x}-3)}^2}$

6. Ta có:

$\mathrm{y}\text{'}=\frac{({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2)\text{'}(\mathrm{x}+1)-({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}+1)\text{'}}{{(\mathrm{x}+1)}^2}=\frac{(2\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+1)-({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2)}{{(\mathrm{x}+1)}^2}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-4}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2}$

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $\mathrm{y}={\left({\mathrm{x}}^7+\mathrm{x}\right)}^2$

b) $\mathrm{y}=\sqrt{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}$

Lời giải

a) Đặt u = (x⁷ + x)²

$\Rightarrow \mathrm{y}\text{'}\left(\mathrm{u}\right)=2\left({\mathrm{x}}^7+\mathrm{x}\right){\left({\mathrm{x}}^7+\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}=2\left({\mathrm{x}}^7+\mathrm{x}\right)\left(7\mathrm{x}+1\right)$

b) Đặt u = 2x² + 3x + 1

$\Rightarrow \mathrm{y}\text{'}\left(\mathrm{u}\right)=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{{\left(2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}}=\frac{4\mathrm{x}+3}{2\sqrt{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1}}$

Bài 3. Cho $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+\sqrt{32}$ và $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+10\sqrt{3}$. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

Lời giải

Ta có:

$\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\left(2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+\sqrt{32}\right)}^{\text{'}}=6{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+10\sqrt{3}\right)}^{\text{'}}={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}$

Xét bất phương trình: f’(x) > g’(x)

$\iff 6{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}>{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\iff 5{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}>0\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}<0\\ \mathrm{x}>\frac{3}{5}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $\left(-\infty ;0\right)\cup \left(\frac{3}{5};+\infty \right)$.

Bài 4. Cho f(x) = x⁵ + x³ – 2x – 3. Chứng minh rằng:

f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Lời giải

Ta có: f’(x) = (x⁵ + x³ – 2x – 3)’ = 5x⁴ + 3x² – 2.

Khi đó:

f’(1) = 5.1⁴ + 3.1² – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f’(-1) = 5.(-1)⁴ + 3.(-1)² – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f(0) = 0⁵ + 0³ – 2.0 – 3 = 0 + 0 – 0 – 3 = - 3.

f’(1) + f’(-1) = 6 + 6 = 12 và -4f(0) = -4.(-3) = 12.

Vậy f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Câu 1:

A. $y^{\text{'}}\left(1\right)=-4$

B. $y^{\text{'}}\left(1\right)=-5$

C. $y^{\text{'}}\left(1\right)=-3$

D. $y^{\text{'}}\left(1\right)=-2$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có : 

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(x^2+x)\text{'}.(x-2)-(x^2+x).(x-2)\text{'}}{{(x-2)}^2}\\ =\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{{(x-2)}^2}\\ =\frac{x^2-4x-2}{{(x-2)}^2}\end{array}$

$\Rightarrow y\text{'}\left(1\right)=\frac{1^2-4.1-2}{{(1-2)}^2}=-5$

Câu 2:

$y=x^4-3x^2+2x-1$

A. $y^{\text{'}}=4x^3-6x+3$

B. $y^{\text{'}}=4x^4-6x+2$

C. $y^{\text{'}}=4x^3-3x+2$ 

D. $y^{\text{'}}=4x^3-6x+2$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l}y=x^4-3x^2+2x-1\\ \Rightarrow y\text{'}=4x^3-3.2x+2\\ =4x^3-6x+2\end{array}$

Câu 3.

A.  $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{1-2x^2}}.$

B.  $y^{\text{'}}=\frac{-4x}{\sqrt{1-2x^2}}.$

C.  $y^{\text{'}}=\frac{-2x}{\sqrt{1-2x^2}}.$

D.  $y^{\text{'}}=\frac{2x}{\sqrt{1-2x^2}}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có 

$y^{\text{'}}=\frac{{\left(1-2x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1-2x^2}}=\frac{-4x}{2\sqrt{1-2x^2}}=\frac{-2x}{\sqrt{1-2x^2}}$.

Câu 4:

A. $f^{\text{'}}\left(-1\right)=4.$ 

B. $f^{\text{'}}\left(-1\right)=14.$

C. $f^{\text{'}}\left(-1\right)=15.$

D. $f^{\text{'}}\left(-1\right)=24.$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 

$f^{\text{'}}\left(x\right)=-4x^3+12x^2-6x+2$

Suy ra 

$f\text{'}(-1)=-4{(-1)}^3+12{(-1)}^2-6(-1)+2=24$.

Câu 5:

A. 0.

B. 2

C. 1

D. Không tồn tại

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có : 

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2\right)\text{'}}{2\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)$ không xác định tại $x=0$

Suy ra, hàm số không có đạo hàm tại .

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số sau $f\left(x\right)=\begin{array}{l}{x}^2-3x+1khix>1\\ 2x+2khix\le 1\end{array}$ ta được:

A. $f\text{'}\left(x\right)=\begin{array}{l}2x-3khix>1\\ 2khix\le 1\end{array}$

B. $f\text{'}\left(x\right)=\begin{array}{l}2x-3khix>1\\ 2khix<1\end{array}$

C. Không tồn tại đạo hàm           

D. $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x-3$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Với $x>1$ ta có: 

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^2-3x+1\\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2x-3\end{array}$

Với $x<1$ ta có :

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=2x+2\\ \iff f\text{'}\left(x\right)=2\end{array}$ 

Với $x=1$ ta có : 

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2-3x+1\right)\\ =-1\ne f\left(1\right)=4\end{array}$

Hàm số không liên tục tại $x=1$, do đó không có đạo hàm tại $x=1$.

Vậy $f\text{'}\left(x\right)=\begin{array}{l}2x-3khix>1\\ 2khix<1\end{array}$

Câu 7.

A. $y^{\text{'}}=2016{{(x^3-2x^2)}^2}^{015}.$                           

B. $y^{\text{'}}=2016{(x^3-2x^2)}^{2015}(3x^2-4x).$

C. $y^{\text{'}}=2016(x^3-2x^2)(3x^2-4x).$               

D. $y^{\text{'}}=2016(x^3-2x^2)(3x^2-2x).$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt $u=x^3-2x^2$ thì $y=u^{2016},$${y^{\text{'}}}_u=2016.u^{2015},$

${u^{\text{'}}}_x=3x^2-4x.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u.{u^{\text{'}}}_x$.

Vậy: $y^{\text{'}}=$$2016.{{(x^3-2x^2)}^2}^{015}.(3x^2-4x).$

Câu 8.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$y\text{'}={\left(1+2x\right)}^{/}\left(2+3x^2\right)\left(3-4x^3\right)+\left(1+2x\right){\left(2+3x^2\right)}^{/}\left(3-4x^3\right)+\left(1+2x\right)\left(2+3x^2\right){\left(3-4x^3\right)}^{/}$

$y\text{'}=2\left(2+3x^2\right)\left(3-4x^3\right)+\left(1+2x\right)\left(6x\right)\left(3-4x^3\right)+\left(1+2x\right)\left(2+3x^2\right)\left(-12x^2\right)$

Câu 9.

A. $\frac{4x^2-5x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}}$

B. $\frac{4x^2+5x-3}{2\sqrt{x^2+x+1}}$       

C. $\frac{4x^2+5x+3}{\sqrt{x^2+x+1}}$           

D. $\frac{4x^2+5x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l}y\text{'}=(x+1)\text{'}.\sqrt{x^2\text{}+x+1}+\text{}(x+1).\left(\sqrt{x^2\text{}+x+1}\right)\text{'}\\ =\sqrt{x^2+x+1}+(x+1)\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\\ =\frac{2.(x^2+x+1)\text{}+(x+1).(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}\\ =\frac{4x^2+5x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}}\end{array}$

Câu 10:

A. $y^{\text{'}}=5{\left(1-x^3\right)}^4$ 

B. $y^{\text{'}}=-15x^2{\left(1-x^3\right)}^4$ 

C. $y^{\text{'}}=-3{\left(1-x^3\right)}^4$ 

D. $y^{\text{'}}=-5x^2{\left(1-x^3\right)}^4$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có :  

$\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=5{\left(1-x^3\right)}^4{\left(1-x^3\right)}^{\text{'}}\\ =5{\left(1-x^3\right)}^4.(-3x^2)\\ =-15x^2{\left(1-x^3\right)}^4\end{array}$.