Lý thuyết Dãy số (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Dãy số

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa.

1. Định nghĩa dãy số.

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

$\begin{array}{l}u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ\\ n\mapsto u\left(n\right)\end{array}$

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃,…,u_n,..,

Trong đó, u_n = u(n) hoặc viết tắt là (u_n), và gọi u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

- Ví dụ 1:

a) Dãy các số tự nhiên chẵn: 2; 4; 6; 8; …có số hạng đầu u₁ = 2, số hạng tổng quát là u_n = 2n.

b) Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5 là 5; 10; 15; 20; … có số hạng đầu u₁ = 5, số hạng tổng quát là u_n = 5n.

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn.

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,.., m} với  được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dạng khai triển của nó là u₁, u₂, u₃,…, u_m, trong đó u₁ là số hạng đầu, u_m là số hạng cuối.

- Ví dụ 2.

a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 là dãy số hữu hạn có u₁ = 4; u₆ = 19.

b) $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6}$ là dãy số hữu hạn có u₁ = 4; u₆ = $\frac{1}{6}$.

II. Cách cho một dãy số.

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

- Ví dụ 3.

a) Cho dãy số (u_n) với u_n = n².   (1)

Từ công thức (1), ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn, u₁₀ = 10² = 100.

Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển ta được:

1, 4, 9, 16, 25, 36,…, n²,….

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ 4. Số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Nếu lập dãy số (u_n) với u_n là giá trị gần đúng thiếu của số $\sqrt{2}$ với sai số tuyệt đối 10^-n thì:

u₁ = 1,4 ; u₂ = 1,41; u₃ = 1,414; u₄ = 1,4142,….

Đó là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

- Ví dụ 5. Dãy số (u_n) được xác định như sau:

$\begin{array}{c}{u}_1=1;u_2=2\\ u_n=2u_{n-1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3u_{n-2}(n\ge 3)\end{array}$

Dãy số như trên là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.

III. Biểu diễn hình học của dãy số.

Vì dãy số là một hàm số trên nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n ; u_n).

Ví dụ 6: Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n+1}{n}$ có biểu diễn hình học như sau:

IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm.

- Định nghĩa 1:

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n +1} > u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_{n +1} < u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Ví dụ 7. Dãy số (u_n) với u_n = 2 – 2n là dãy số giảm.

Thật vậy, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ xét hiệu u_{n +1} – u_n. Ta có:

u_{n +1} – u_n = 2 – 2(n + 1) – (2 – 2n) = – 2  < 0

Do u_{n +1} – u_n < 0 nên u_{n +1} < u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

- Chú ý:

Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn dãy số (u_n) với u_n = (– 1)ⁿ tức là dãy: – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1…không tăng cũng không giảm.

2. Dãy số bị chặn.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho:

$u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:

$u_n\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m; M sao cho:

$m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Ví dụ 8. Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$ bị chặn vì 0 < u_n ≤ 1.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

u₁ = 4 – 2.1 = 2;  u₂ = 4 – 2.2 = 0; u₃ = 4 – 2.3 = – 2;

u₄ = 4 – 2.4 = – 4; u₅ = 4 – 2.5 = – 6.

c) Ta có: 

$u_1=\frac{1}{2};u_2=\frac{1}{3};u_3=\frac{1}{4};u_4=\frac{1}{5};u_5=\frac{1}{6}$

Bài 2. Cho dãy số (u_n) với $\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+{\left(-1\right)}^{2n}\end{array}$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

Thật vậy, ta chứng minh u_n = n   (1)  bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n = 1 thì u₁ = 1.

Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với mọi n = k ≥ 1, ta có: u_k = k.

 Ta đi chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là: u_{k + 1} = k + 1.

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có:

u_{k+ 1} = u_k + (– 1)^2k = k + 1

Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 3. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u_n) sau :

Lời giải:

a) Xét hiệu

Suy ra, u_{n + 1} > u_n $\forall n>1$. Do đó, dãy (u_n) là dãy tăng.

Mặt khác:

$\Rightarrow u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy (u_n) là dãy số tăng.

Lại có : $u_n>\frac{n^2+2n+\text{}1}{n+\text{\hspace{0.17em}}1}=n+1\ge 2$ nên dãy (u_n) bị chặn dưới.

Bài 4. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết:

Lời giải:

a) Ta có: u_n > 0 với mọi n ≥ 1.

Xét thương :

Suy ra: u_{n +1} < u_n với mọi n ≥ 1 nên dãy (u_n) là dãy số giảm.

- Lại có:

 $\sqrt{1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}n+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{n}^2}>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}n+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{n}^2}}<1$

Vậy 0 < u_n < 1 nên dãy (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Ta có: u_n > 0 với mọi n ≥ 1.

Xét thương :

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}:\frac{2^n}{n!}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}.\frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}<1\forall n>1$

Suy ra: u_{n +1} < u_n với mọi n ≥ 1 nên dãy (u_n) là dãy số giảm.

Vì $0<\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_n\le u_1=2\forall n\ge 1$ nên dãy (u_n) là dãy số bị chặn.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Dãy số

Câu 1:

 A. $u_{10}=97$               

B. $u_{10}=71$                

C. $u_{10}=1414$             

D. $u_{10}=971$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Xét dãy $\left(u_n\right)$ có dạng: $u_n=a{n}^3+b{n}^2+cn+d$

Ta có hệ: $\begin{array}{l}a+b+c+d=-1\\ 8a+4b+2c+d=3\\ 27a+9b+3c+d=19\\ 64a+16b+4c+d=53\end{array}$

Giải hệ trên ta tìm được: $a=1,b=0,c=-3,d=1$

$\Rightarrow u_n=n^3-3n+1$ là một quy luật.

Số hạng thứ 10: $u_{10}=971$.

Câu 2:

A. $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{n+2}$.

B. $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{n+1}$.

C. $u_{n+1}=\frac{a.n^2+1}{n+1}$.

D. $u_{n+1}=\frac{a{n}^2}{n+2}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

$u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+1\right)+1}=\frac{a{\left(n+1\right)}^2}{{\left(n+2\right)}^2}$

A. $u_n=5(n-1)$.

B. $u_n=5n$.

C. $u_n=5+n$.

D. $u_n=5.n+1$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$5=5.1$

$10=5.2$

$15=5.3$

$20=5.4$

$25=5.5$

Suy ra số hạng tổng quát $u_n=5n$.

A. $u_n=7n+7$

B. $u_n=7.n$

C. $u_n=7.n+1$

D. $u_n$ : Không viết được dưới dạng công thức

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$8=7.1+1$

$15=7.2+1$

$22=7.3+1$

$29=7.4+1$

$36=7.5+1$

Suy ra số hạng tổng quát $u_n=7n+1$.

A. $u_n=\frac{n+1}{n}$

B. $u_n=\frac{n}{n+1}$

C. $u_n=\frac{n-1}{n}$

D. $u_n=\frac{n^2-n}{n+1}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$0=\frac{0}{0+1}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$

$\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1}$

$\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1}$

$\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}$

Suy ra $u_n=\frac{n}{n+1}$.

A. $u_n=-2n$

B. $u_n=\left(-2\right)+n$

C. $u_n=\left(-2\right)(n+1)$

D. $u_n=\left(-2\right)+2\left(n-1\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (-2) nên $u_n=\left(-2\right)+2.\left(n-1\right)$.

Câu 7:

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}$ 

$=\frac{34}{(3n+1)(3n-2)}>0$ với mọi $n\ge 1$.

Suy ra $u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng.

Mặt khác: $u_n=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}$

$\Rightarrow -11\le u_n<\frac{2}{3}\forall n\ge 1$

Vậy dãy $\left(u_n\right)$ là dãy bị chặn.

Câu 8:

Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng $u_n>0,\forall n$

A. $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{47}{6},u_4=\frac{227}{34}$

B. $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{17}{6},u_4=\frac{227}{34}$

C. $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{19}{6},u_4=\frac{227}{34}$

D. $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{17}{6},u_4=\frac{2127}{34}$                   

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{17}{6},u_4=\frac{227}{34}$.

Ta chứng minh $u_n>0,\forall n$ bằng quy nạp.

Giả sử $u_n>0$, khi đó:

$2u_n+\frac{1}{2u_n}\ge 2\sqrt{2u_n.\frac{1}{2u_n}}=2$

Nên $u_{n+1}$

$=u_n+\left(2u_n+\frac{1}{2u_n}-2\right)>u_n>0$.

Câu 9:

A. $u_n=\frac{1}{3}\frac{1}{3^{n+1}}$

B. $u_n=\frac{1}{3^{n+1}}$

C. $u_n=\frac{1}{3^n}$

D. $u_n=\frac{1}{3^{n-1}}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 10:

A. $u_n=\frac{(n-1)n}{2}$

B. $u_n=5+\frac{(n-1)n}{2}$

C. $u_n=5+\frac{(n+1)n}{2}$

D. $u_n=5+\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

$=5+\frac{n\left(n-1\right)}{2}$.