Lý thuyết Phép đồng dạng (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

Bài giảng Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

- Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN.

- Nhận xét

1) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

2) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

II. Tính chất

Phép đồng dạng tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính kR.

- Chú ý.

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thảng đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn (C) và (C’) có phương trình x² + y² – 4y – 5 = 0 và x² + y² – 2x + 2y – 14 = 0. Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k, khi đó giá trị k là ?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(0 ; 2) bán kính R = 3.

Đường tròn (C’) có tâm I’(1 ; – 1) bán kính R’ = 4.

Ta có (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k nên : 4 = 3k

III. Hình đồng dạng

- Định nghĩa. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

- Ví dụ 2. Các hình sau đôi một đồng dạng với nhau.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(– 2 ; – 3); B(4 ; 1). Phép đồng dạng tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến điểm A thành A’, biến điểm B thành B’. Khi đó độ dài A’B’ là bao nhiêu?

Lời giải:

Vì phép đồng dạng tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến điểm A thành A’, biến điểm B thành B’ nên 

$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(4+2\right)}^2+{\left(1+3\right)}^2}=\frac{\sqrt{52}}{2}=\frac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2 ; 4). Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O(0 ; 0) tỉ số $k=\frac{1}{2}$ và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm nào?

Lời giải:

Gọi $M^{\text{'}}=V_{\left(O,\frac{1}{2}\right)}\left(M\right);$ $M^{\text{'}\text{'}}={Đ}_{Oy}\left(V_{\left(O;\frac{1}{2}\right)}\left(M\right)\right).$

Tọa độ điểm M’ là:

$\overrightarrow{OM\text{'}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OM}\Rightarrow \begin{array}{c}{x}^{\text{'}}=2.\frac{1}{2}=1\\ y^{\text{'}}=4.\frac{1}{2}=2\end{array}\Rightarrow M\text{'}(1;2)$

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy ta có:

Tọa độ điểm M” là: $\begin{array}{c}x"=-x\text{'}\\ y"=y\text{'}\end{array}\iff \begin{array}{c}x"=-1\\ y"=2\end{array}.$

Vậy điểm M” cần tìm là M” (– 1 ; 2).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

Câu 1:

Xét phép đồng dạng biến hình thang HICD thành hình thang LJIK. Tìm khẳng định đúng :

A. Phép đối xứng trục Đ_ACvà phép vị tự $V_{\left(B,2\right)}$.

B. Phép đối xứng tâm Đ_I phép vị tự $V_{\left(C,\frac{1}{2}\right)}$.

C. Phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{AB}}$ và phép vị tự $V_{\left(I,2\right)}$.

D. Phép đối xứng trục Đ_BD và phép vị tự $V_{\left(B,-2\right)}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

${\text{D}}_I:HICD\mapsto KIAB;$

$V_{\left(C,\frac{1}{2}\right)}\text{:}KIAB\mapsto LJIK$

Do đó ta chọn đáp án B

Câu 2:

A. $5\sqrt{2}$

B. $9\sqrt{3}$

C. $9\sqrt{2}$

D. $5\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Do phép tịnh tiến và phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các cạnh nên phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BC}}$, phép quay $Q\left(B,{60}^o\right)$, phép vị tự $V_{\left(A,3\right)}$, $\Delta ABC$ biến thành $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ thì  

$A_1{B}_1=3AB=6$

Tam giác đều $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh bằng 6

$\Rightarrow S_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ .

Câu 3:

A. k= 1

B.k= -1

C.k= 0

D. k= 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Theo tính chất của phép đồng dạng.

Câu 4:

A. Phép dời là phép đồng dạng tỉ số k= 1

B. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số $\left.k\right|$

D. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì phép quay là phép đồng dạng mà phép quay với góc quay $\alpha \ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ thì không biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Câu 5: Cho hình vuông ABCD, P thuộc cạnh AB. H là chân đường vuông góc hạ từ B đến PC. Phép đồng dạng biến tam giác BHC thành tam giác PHB. Tìm ảnh của B và D

A. P và Q ($Q\in BC$ và $BQ=BP$)

B. C và Q  ($Q\in BC$ và $BQ=BP$)

C. H và Q

D. P và C

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 6:

A. Phép vị tự.

B. Phép đồng dạng, phép vị tự.

C. Phép đồng dạng, phép dời hình, phép vị tự.

D. Phép dời dình, phép vị tự.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 7:

A. $\left(0;5\right)$

B. $\left(5;0\right)$

C. $\left(–6;–3\right)$

D. $\left(–3;–6\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi $A^{\text{'}}\left(x;y\right)$

Ta có:  $V\left(I;2\right)\left(A\right)=A^{\text{'}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{I{A}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{IA}$

$\iff \begin{array}{l}{x}^{\text{'}}-2=2\left(1-2\right)\\ y^{\text{'}}+1=2\left(2+1\right)\end{array}$

$\Rightarrow A^{\text{'}}\left(0;5\right)$

Phép đối xứng tâm B biến $A\text{'}$ thành $B\text{'}$ nên B là trung điểm $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$

$\Rightarrow B^{\text{'}}\left(-6;-3\right)$ 

Câu 8:

A. $\frac{\sqrt{52}}{2}$

B. $\sqrt{52}$

C. $\frac{\sqrt{50}}{2}$

D. $\sqrt{50}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Chọn B.

Vì phép đồng dạng tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến điểm A thành $A\text{'}$ , biến điểm B thành $B\text{'}$ nên

$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\frac{1}{2}AB$

$=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(4+2\right)}^2+{\left(1+3\right)}^2}$

$=\sqrt{52}$ .

Câu 9:

A. $2x-y=0.$

B. $2x+y=0.$

C. $4x-y=0.$

D. $2x+y-2=0.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tâm vị tự O thuộc đường thẳng d nên $d=V_{(O;-2)}\left(d\right)$.

$d^{\text{'}}=D_{Oy}\left(d\right)$ có phương trình là:

$\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}=-x\\ y^{\text{'}}=y\end{array}$

$\iff \begin{array}{c}x=-x^{\text{'}}\\ y=y^{\text{'}}\end{array}.$  

Mà $2x-y=0$

$\iff 2\left(-x^{\text{'}}\right)-y^{\text{'}}=0$

$\iff 2x^{\text{'}}+y^{\text{'}}=0.$

Câu 10:

A. ${\left(x–2\right)}^2+{\left(y–2\right)}^2=1$

B. ${\left(x–1\right)}^2+{\left(y–1\right)}^2=1$

C. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y–1\right)}^2=1$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y–1\right)}^2=1$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(2;2\right)$ bán kính $R=2$

Qua $V\left(O;\frac{1}{2}\right):\left(C\right)\to \left(C\text{'}\right)$ nên $(C\text{'})$ có tâm $I^{\text{'}}\left(x;y\right)$

 và bán kính $R^{\text{'}}=\frac{1}{2}R=1$ 

Mà :  $\overrightarrow{O{I}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OI}$

$\iff \begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=\frac{1}{2}x\\ y^{\text{'}}=\frac{1}{2}y\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$

$\Rightarrow I^{\text{'}}\left(1;1\right)$

Qua $Q(O;{90}^0):(C\text{'})\to (C\text{'}\text{'})$ nên $(C\text{'}\text{'})$ có tâm ${I^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(-1;1\right)$ bán kính ${R^{\text{'}}}^{\text{'}}=R^{\text{'}}=1$ (vì góc quay ${90}^0$ ngược chiều kim đồng hồ biến $I^{\text{'}}\left(1;1\right)$ thành ${I^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(-1;1\right)$)

Vậy $\left({C^{\text{'}}}^{\text{'}}\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y–1\right)}^2=1$

Giả sử đường thẳng $d:ax+by+c=0$ ( với $a^2+b^2>0$ )

có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=(a;b)$

Gọi $M(x;y)\in d$,  $I(x_0;y_0)$

$M\text{'}$ là ảnh của M qua $V\left(I;k\right)$ khi đó  

$\overrightarrow{I{M}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{IM}$

$\iff \begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=k(x-x_0)\\ y^{\text{'}}=k(y-y_0)\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{x^{\text{'}}+k{x}_0}{k}\\ y=\frac{y^{\text{'}}+k{y}_0}{k}\end{array}$

Do $M\in d$ nên $a\frac{x^{\text{'}}+k{x}_0}{k}+b\frac{y^{\text{'}}+k{y}_0}{k}+c=0$

$\iff \frac{a}{k}{x}^{\text{'}}+\frac{b}{k}{y}^{\text{'}}+c+a{x}_0+b{y}_0=0$

Nên phương trình ảnh $d\text{'}$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{v^{\text{'}}}=k\left(a;b\right)$

do đó d và $d\text{'}$ song song hoặc trùng nhau.

Chú ý: loại phép dời hình và phép đồng dạng vì phép quay cũng là phép dời hình và đồng dạng.