Lý thuyết Phép đối xứng tâm (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài giảng Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa.

- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác điểm I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

- Nếu hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ  qua Đ_I thì ta còn nói ℋ  đối xứng với ℋ ' qua tâm I, hay ℋ  và ℋ ' đối xứng với nhau qua I.

Từ định nghĩa trên ta suy ra, M’ = Đ_I(M) $\iff \overrightarrow{IM\text{'}}=-\overrightarrow{IM}$.

- Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau. Các điểm A và B là ảnh của điểm A’ và B’ qua phép đối xứng tâm I và ngược lại.

II. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(x ; y), M’= Đ_O(M) = (x’; y’). Khi đó:

 $\begin{array}{c}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=-y\end{array}$, đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ.

- Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(7 ; – 4). Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O. 

Lời giải:

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của điểm A qua  phép đối xứng tâm O. 

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có:

$\begin{array}{c}x\text{'}=-7\\ y\text{'}=-(-4)=4\end{array}\Rightarrow A\text{'}(-7;4)$

III. Tính chất.

- Tính chất 1. Nếu Đ_I(M) = M’ và Đ_I(N) = N’ thì $\overrightarrow{M\text{'}N\text{'}}=-\overrightarrow{MN}$, từ đó suy ra M’N’ = MN.

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Tính chất 2. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1; 2).

Lời giải:

Giả sử phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến điểm  thành điểm M’(x’ ; y’).

Khi đó I là trung điểm của MM’. Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

$\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=2.1-x=2-x\\ y^{\text{'}}=2.2-y=4-y\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2-x^{\text{'}}\\ y=4-y^{\text{'}}\end{array}$

Vì điểm M thuộc d nên: x + y – 2 = 0    (2).

Thay (1) vào (2) ta được:

(2 – x’) + (4 – y’) – 2 = 0 hay – x’ – y’ + 4 = 0.

Do đó, phương trình đường thẳng d’ là – x – y + 4 = 0 hay x + y – 4 =0.

IV. Tâm đối xứng của một hình.

Định nghĩa. Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng tâm I biến hình ℋ  thành chính nó.

- Khi đó, ta nói ℋ  là hình có tâm đối xứng.

- Ví dụ 4. Các hình sau đây đều có tâm đối xứng:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm ảnh của điểm M(2 ; 1) qua phép đối xứng tâm I(1 ; – 3).

Lời giải:

Gọi Đ_I(M) = M’(x’ ; y’)

Khi đó, I là trung điểm của MM’. Áp dụng biểu thức tọa độ trung điểm ta có:

$\begin{array}{c}x\text{'}=2.1-2=0\\ y\text{'}=2.(-3)-1=-7\end{array}\Rightarrow M\text{'}(0;-7)$

Vậy ảnh của M qua phép đối xứng tâm I là M’(0 ; – 7).

Bài 2. Cho điểm I(2 ; 0)và đường thẳng d: 2x – 5y + 1 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải:

Lấy điểm M(x ; y) thuộc d. Suy ra: 2x – 5y + 1 = 0 (1)

Gọi Đ_I(M) = M’(x’ ; y’).

Khi đó, I là trung điểm của MM’. Áp dụng biểu thức tọa độ trung điểm ta có tọa độ của M’ là:

$\begin{array}{c}x\text{'}=2.2-x\\ y\text{'}=2.0-y\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}x=4-x\text{'}\\ y=-y\text{'}\end{array}\left(2\right)$

Thay (2) vào (1) ta được:

2.(4 – x’) – 5.(– y’) + 1 = 0 hay – 2x’ + 5y’ + 9 = 0

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: – 2x + 5y + 9 = 0.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C): (x – 3)² + (y + 1)² = 16 qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(3 ; – 1) bán kính R = 4.

Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O(0 ; 0) nên

đường tròn (C’) có bán kính R’ = R = 4 và tâm I’(– 3; 1) (tâm I’ đối xứng với tâm I qua O).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là (x + 3)² + (y – 1)² = 16.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

Câu 1.

A. Hình thang.

B. Hình tròn.

C. Parabol.

D. Tam giác bất kì.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tâm đối xứng của hình tròn là tâm của hình tròn đó.

Câu 2.

A. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm A

B. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm B

C. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AB

D. ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AC

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

M là ảnh của C qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AB.

Mà C di động trên đường thẳng d nên quỹ tích điểm M là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I.

Câu 3.

Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $AN$ và $CD$; $CM$ và $AB$. Tìm mệnh đề sai.

A. P và Q đối xứng qua O

B. M và N đối xứng qua O

C. M là trọng tâm tam giác ABC

D. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Từ giả thiết suy ra $DN=\frac{2}{3}DO$ , mà O là trung điểm AC

 $\Rightarrow$N là trọng tâm $\Delta ACD$.

Mà AN cắt CD tại  P $\Rightarrow$P   là trung điểm CD . 

Tương tự , ta có : Q là trung điểm AB . 

$\Rightarrow$ Do $AQ\parallel PC$ và  $AQ=PC$

 $\Rightarrow AQCP$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ O là trung điểm của  PQ 

$\Rightarrow$P  và Q đối xứng qua O.

$\Rightarrow$ Do  $MO=NO=\frac{1}{6}BD$

$\Rightarrow$O  là trung điểm MN

 $\Rightarrow$M và N đối xứng qua O.

$\Rightarrow$ Chứng minh tương tự $\Rightarrow$M là trọng tâm tam giác ABC .

$\Rightarrow$ Tam giác ABC không phải là tam giác đều nên không đủ kết luận M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 4.

A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.

B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.

C. Hình lục giác đều.

D. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì tam giác đều không có tâm đối xứng.

Câu 5.

A. Đường elip.

B. Đường hypebol.

C. Đường parabol.

D. Đồ thị hàm số $y=\sin x.$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Câu 6.

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Có một tâm đối xứng chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đường tròn.

Câu 7.

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Tâm đối xứng phải nằm trên cả $d$ và $d\text{'}$ nên không có.

Câu 8.

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tâm đối xứng là giao điểm của $d$ và $d\text{'}$.

Câu 9.

A. $\left(E\text{'}\right):\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1.$

B. $\left(E\text{'}\right):\frac{{\left(x-2\right)}^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1.$

C. $\left(E\text{'}\right):\frac{{\left(x+1\right)}^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1.$

D. $\left(E\text{'}\right):\frac{{\left(x+2\right)}^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $I\left(a;b\right)$ là $\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x=2-x\\ y\text{'}=2b-y=-y\end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}x=2-x\text{'}\\ y=-y\text{'}\end{array}$.Thay vào $\left(E\right)$ ta được :

$\frac{{\left(2-x\text{'}\right)}^2}{4}+\frac{{\left(-y\text{'}\right)}^2}{1}=1$$\iff \frac{{\left(x\text{'}-2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(-y\text{'}\right)}^2}{1}=1.$

Câu 10.

A. $AM{A}^{\text{'}}N$ là hình bình hành

B. $BMN{A}^{\text{'}}$ là hình bình hành

C. $B,C$ đối xứng với nhau qua $A\text{'}$

D. $BMN{A}^{\text{'}}$ là hình thoi.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

 $A\text{'}$ đối xứng với A qua  O $\Rightarrow$O  là trung điểm $A{A}^{\text{'}}$. 

MO là đường trung bình của $\Delta A{A}^{\text{'}}B$ $\Rightarrow \begin{array}{l}B{A}^{\text{'}}\parallel MN\\ B{A}^{\text{'}}=2MO\end{array}$

NO là đường trung bình của $\Delta A{A}^{\text{'}}C$ $\Rightarrow \begin{array}{l}C{A}^{\text{'}}\parallel MN\\ C{A}^{\text{'}}=2MO\end{array}$

$\Rightarrow B,A^{\text{'}},C$ thẳng hàng

$\Rightarrow A\text{'}$ là trung điểm BC

Do O đồng thời là trung điểm của  MN và $A{A}^{\text{'}}$ nên $AM{A}^{\text{'}}N$ là hình bình hành.

Do $B{A}^{\text{'}}=MN$ và $B{A}^{\text{'}}\parallel MN$ ( MN là đường trung bình của $\Delta ABC$ ) nên $BMN{A}^{\text{'}}$ là hình bình hành. Do $A\text{'}$ là trung điểm BC nên B,C đối xứng với nhau qua $A\text{'}$.

Không đủ điều kiện kết luận $BMN{A}^{\text{'}}$ là hình thoi.