Lý thuyết Phép tịnh tiến (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phép tịnh tiến

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phép tịnh tiến

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa.

- Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho vectơ $\overrightarrow{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

- Phép tịnh tiến theo vectơ  thường được kí hiệu là được gọi là vectơ tịnh tiến.

Vậy: $T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M\text{'}\iff \overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$.

- Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

- Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau:

Ta có: $T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A\text{'};$$T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)=B\text{'};T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)=C\text{'}$.

II. Tính chất

- Tính chất 1.  Nếu $T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M\text{'};$$T_{\overrightarrow{v}}\left(N\right)=N\text{'}$ thì $\overrightarrow{M\text{'}N\text{'}}=\overrightarrow{MN}$ và từ đó suy ra M’N’ = MN.

Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

III. Biểu thức tọa độ.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\overrightarrow{v}(a;b)$. Với mỗi điểm M(x ; y) ta có M’(x’ ; y’) là ảnh của điểm M qua tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

Khi đó:  

$\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}\iff \begin{array}{c}x\text{'}-x=a\\ y\text{'}-y=b\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}$

đây chính là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{v}}$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1 ; – 2). Phép tịnh tiến theo vectơ biến A thành điểm A’ có tọa độ là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm A’ = (x’; y’).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ biến điểm M thành M₁ và phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{v}}$ biến M₁ thành M₂. Hỏi tịnh tiến theo vectơ $(\overrightarrow{u}+\text{\hspace{0.17em}}\overrightarrow{v})$ biến điểm M thành điểm nào?

Lời giải:

Theo giả thiết ta có:

Vậy tịnh tiến theo vectơ$(\overrightarrow{u}+\text{\hspace{0.17em}}\overrightarrow{v})$ biến điểm M thành điểm M₂.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(2; 1); B(– 1; – 4). Gọi C và D lần lượt là ảnh của A và B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}(1;5)$. Tính độ dài đoạn thẳng CD?

Lời giải:

Ta có:

 $AB=\sqrt{{(-1-2)}^2+\text{\hspace{0.17em}}{(-4-1)}^2}=\sqrt{34}$

Vì $T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=C;$$T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)=D$ nên theo tính chất của phép tịnh tiến ta có:

$CD=AB=\sqrt{34}$

Vậy $CD=\sqrt{34}$.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{v}(1;-3)$ và đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 5 =  0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{v}}$.

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm M(x ; y) tùy ý thuộc d, ta có: 2x – 3y + 5 = 0  (1)

Gọi :

$M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\Rightarrow \begin{array}{l}x\text{'}=x+1\\ y\text{'}=y-3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=x\text{'}-1\\ y=y\text{'}+3\end{array}$

Thay vào (1) ta được phương trình:

2(x’ – 1) – 3(y’ + 3) + 5 = 0 hay 2x’ – 3y’ – 6 = 0.

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: 2x – 3y – 6 = 0.

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do $T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)=d\text{'}$ nên d’ song song hoặc trùng với d.

Suy ra, phương trình đường thẳng d’ có dạng: 2x – 3y + c = 0      (2).

Lấy điểm M(– 1; 1) thuộc d.

Khi đó $T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M\text{'}(x\text{'};y\text{'})$.

$\begin{array}{l}x\text{'}=-1+1=0\\ y\text{'}=1-3=-2\end{array}\Rightarrow M\text{'}(0;-2)$

Do M’ thuộc d’ nên thay tọa độ M’ vào d’ ta được:

2.0 – 3.(– 2) + c = 0 nên c = – 6.

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: 2x – 3y – 6 = 0.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình

 x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}(1;1)$.

Lời giải:

Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến:

Đường tròn (C) có tâm I(–1 ; 2) và bán kính $R=\sqrt{{(-1)}^2+\text{\hspace{0.17em}}{2}^2-(-4)}=3$.

Gọi ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ  là (C’) có tâm I’(x’; y’) và  bán kính R’ = R = 3.

Ta tìm tâm I’(x’; y’).

Ta có:

 $\begin{array}{c}x\text{'}=-1+1=0\\ y\text{'}=2+1=3\end{array}\Rightarrow I\text{'}(0;3)$

 Do đó, phương trình của đường tròn (C’) là x² + (y – 3)² = 9.

Trắc nghiệm Toán lớp 11 Bài 1: Phép biến hình + Bài 2: Phép tịnh tiến

Câu 1.

A. 0

B. 2

C. 1

D. Vô số

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Có 1 phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó.

Câu 2.

A. ${\left(x+5\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=16$

B. ${\left(x+5\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=16$

C. ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=16$

D. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=16$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có  $\left(C\text{'}\right):{\left(x+5\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=16$

Câu 3.

A. $-x+2y-6$

B. $2x+y-6$

C. $2x+y-8$

D. $-x+2y-8$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có  $d\text{'}:2x+y-8=0$

Câu 4.

A. $m=-2$

B. $m=2$

C. $m=3$

D. $m=-3$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(2;m\right)$, bán kính $R=\sqrt{m^2+5}$.

Đường tròn $\left(C\text{'}\right)$ có bán kính tâm $I\text{'}\left(-1;-3\right)$, bán kính $R\text{'}=3$.

Ta có $\begin{array}{l}2=-1+3\\ m=-3+5\end{array}\Rightarrow m=2$.

Câu 5.

A. $m=1$

B. $m=-1$

C. $m=2$

D. $m=\varnothing$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích: 

Giả sử $M\left(x;y\right)\in \left(P\right)$ là ảnh của $M\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in \left(P\text{'}\right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ  $\overrightarrow{v}=\left(0;1\right)$

Ta có

 $\begin{array}{l}x=x\text{'}\\ y=y\text{'}+1\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=y-1\end{array}$

$\Rightarrow y-1=-x^2-2x+1$

$\iff y=-x^2-2x+2$

Câu 6.

A. $d\text{'}:2x-y+1=0$

B. $d\text{'}:2x-3y-1=0$

C. $d\text{'}:3x+2y+1=0$

D. $d\text{'}:2x+3y-11=0$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích: 

Giả sử $M\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in d\text{'}$ là ảnh của điểm  $M\left(x;y\right)\in d$

$\Rightarrow \begin{array}{l}x\text{'}=x+3\\ y\text{'}=y-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=x\text{'}-3\\ y=y\text{'}+2\end{array}$

Suy ra

 $2\left(x\text{'}-3\right)-3\left(y\text{'}+2\right)+1=0$

$\iff 2x\text{'}-3y\text{'}-11$

Câu 7.

A. $\overrightarrow{v}=\left(1;0\right)$

B. $\overrightarrow{v}=\left(0;1\right)$

C. $\overrightarrow{v}=\left(1;1\right)$

D. $\overrightarrow{v}=\left(0;0\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Phép tịnh tiến theo vectơ–không chính là phép đồng nhất.

Câu 8.

A. $\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}$

B. $\begin{array}{l}x\text{'}=x-a\\ y\text{'}=y-b\end{array}$

C. $\begin{array}{l}x=x\text{'}-a\\ y=y\text{'}-b\end{array}$

D. $\begin{array}{l}x=x\text{'}+a\\ y=y\text{'}+b\end{array}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có   $\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}$

Câu 9.

A. $A\text{'}\left(5;7\right)$

B. $A\text{'}\left(1;6\right)$

C. $A\text{'}\left(3;1\right)$

D. $A\text{'}\left(4;7\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $A\text{'}\left(5;7\right)$

Câu 10.

A. $2x+y-4=0$

B. $x-2y-1=0$

C. $2x+y-4=0$

D. $x-2y+4=0$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có  $d\text{'}:x-2y+4=0$