Anonymous

Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vecto, được kí hiệu là $\vec{A B}$ .

1. Định nghĩa.

- Các khái niệm liên quan đến vecto như giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của vecto, vecto – không, sự bằng nhau của hai vecto … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian

- Phép cộng và phép trừ của hai vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vecto trong mặt phẳng.

- Phép cộng vecto trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vecto trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vecto trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vecto trong hình học phẳng.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh $\vec{D A} + \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{D C}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\vec{D A} = \vec{D C} + \vec{C A}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{D A} + \vec{B C} = \vec{D C} + \vec{C A} + \vec{B C} \\ = \vec{D C} + (\vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{D C} + \vec{B A} \end{array}$

( điều phải chứng minh).

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

Trong không gian cho ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c} \neq \vec{0}$ . Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ: $\vec{O A} = \vec{a}; \vec{O B} = \vec{b}; \vec{O C} = \vec{c}$ thì có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng.

Trong trường hợp này, giá của các vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh $\vec{B D}, \vec{I K}, \vec{G F}$ đồng phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Xét tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow$ IK// AC nên IK// mp ( ABCD) .

Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD)

Ta có : $\begin{array}{l} I K // (A B C D) \\ G F // (A B C D) \\ B D \subset (A B C D) \end{array}$

$\Rightarrow \vec{B D}, \vec{I K}, \vec{G F}$ đồng phẳng.

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

- Định lí 1.

Trong không gian cho hai vecto $\vec{a}; \vec{b}$ không cùng phương và vecto $\vec{c}$ . Khi đó, ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m; n sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ . Ngoài ra, cặp số m; n là suy nhất.

- Định lí 2.

Trong không gian cho ba vecto không đồng phẳng $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ . Khi đó, với mọi vecto ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho $\vec{x} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c}$ . Ngoài ra, bộ ba số m; n; p là duy nhất.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’ . Đặt $\vec{C A} = \vec{a}; \vec{C B} = \vec{b}; \vec{A A'} = \vec{c}$ . Phân tích vecto $\vec{A M}$ theo $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ .

Lời giải:

Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{C B} - \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{B B^{'}}$ (vì M là trung điểm của BB’) .

$= \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{A A^{'}} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt $\vec{S A} = \vec{a}; \vec{S B} = \vec{b}; \vec{S C} = \vec{c}; \vec{S D} = \vec{d}$ . Chứng minh: $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O} \\ \vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} \end{array}$ (do tính chất của đường trung tuyến)

$\Rightarrow \vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D} \Leftrightarrow \vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{x}; \vec{A C} = \vec{y}; \vec{A D} = \vec{z}$ . Phân tích vecto theo các vecto $\vec{x}; \vec{y}; \vec{z}$

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm CD.

Ta có :

$\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{2}{3} (\vec{A M} - \vec{A B}) = \vec{A B} + \frac{2}{3} \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A D}) - \vec{A B}] = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D}) = \frac{1}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A D})$

( do M là trung điểm của CD))

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh:

a) $\vec{I K} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}}$ .

b) Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) $\vec{B D} + 2 \vec{I K} = 2 \vec{B C}$ .

d) Ba vectơ $\vec{B D}; \vec{I K}; \vec{B' C'}$ đồng phẳng.

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Do tính chất đường trung bình trong tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’ nên ta có: $\vec{I K} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}}$

b) Do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK// AC

Suy ra, bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) Ta có:

$\vec{B D} + 2 \vec{I K} = \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{A C} = \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{A D} + \vec{D C} = \vec{B C} + \vec{A D} = \vec{B C} + \vec{B C} = 2 \vec{B C}$

d) Vì giá của ba vectơ $\vec{B D}; \vec{I K}; \vec{B' C'}$ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng (ABCD). Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Câu 1:

A. $\frac{M A}{M A'} = 1$

B. $\frac{M A}{M A'} = \sqrt{2}$

C. $\frac{M A}{M A'} = 2$

D. $\frac{M A}{M A'} = \sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $\vec{A D} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A A'} = \vec{c}$ .

Vì $M \in A A'$ nên $\vec{A M} = k \vec{A A'} = k \vec{c}$

$N \in B C \Rightarrow \vec{B N} = l \vec{B C} = l \vec{a}$ ,

$P \in C' D' \Rightarrow \vec{C' P} = m \vec{b}$

Ta có $\vec{N M} = \vec{N B} + \vec{B A} + \vec{A M}$

$= - l \vec{a} - \vec{b} + k \vec{c}$

$\vec{N P} = \vec{B N} + \vec{B B'} + \vec{B' C'} + \vec{C' P}$

$= (1 - l) \vec{a} + m \vec{b} + \vec{c}$

Do $\vec{N M} = 2 \vec{N P}$

$\Rightarrow - l \vec{a} - \vec{b} + k \vec{c}$

$= 2 [(1 - l) \vec{a} + m \vec{b} + \vec{c}]$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} - l = 2 (1 - l) \\ - 1 = 2 m \\ k = 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow k = 2, m = - \frac{1}{2}, l = 2$ .

Vậy $\frac{M A}{M A'} = 2$ .

Câu 2:

Ta được $S, I, J$ thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{2} = \frac{J S}{J I}$

B. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{4} = \frac{J S}{J I}$

C. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{3} = \frac{J S}{J I}$

D. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + 1 = \frac{J S}{J I}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Goi $E = B P \cap C N, F = C M \cap A P,$ $T = A N \cap B M$ .

Trong $(B C M)$ có $I = B F \cap C T$ trong $(A N P)$ có $N F \cap P T = J$ .

Đặt $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}$

và $\vec{S M} = x \vec{M A}, \vec{S N} = y \vec{N B}, \vec{S p} = z \vec{P C}$

Ta có

$\vec{S M} = \frac{x}{x + 1} \vec{a}, \vec{S N} = \frac{y}{y + 1} \vec{b},$

$\vec{S P} = \frac{z}{z + 1} \vec{c}$

$(x > 0, y > 0, z > 0)$

Do $T = A N \cap B M$ nên

$\begin{array}{l} T \in A N \\ T \in B M \end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l} \vec{S T} = α \vec{S M} + (1 - α) \vec{S B} \\ \vec{S T} = β \vec{S N} + (1 - β) \vec{S A} \end{array}$

$\Rightarrow α \vec{S M} + (1 - α) \vec{S B}$

$= β \vec{S N} + (1 - β) \vec{S A}$

$\Leftrightarrow \frac{α x}{x + 1} \vec{a} + (1 - α) \vec{b}$

$= \frac{β y}{y + 1} \vec{b} + (1 - β) \vec{a}$

Vì $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương nên ta có

$\begin{array}{l} \frac{α x}{x + 1} = 1 - β \\ \frac{β y}{y + 1} = 1 - α \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} α = \frac{x}{x + y + 1} \\ β = \frac{y}{x + y + 1} \end{array}$

$\Rightarrow \vec{S T} = \frac{x}{x + y + 1} \vec{a} + \frac{y}{x + y + 1} \vec{b}$

Hoàn toàn tương tự ta có :

$\vec{S E} = \frac{y}{y + z + 1} \vec{b} + \frac{z}{y + z + 1} \vec{c},$

$\vec{S F} = \frac{z}{z + x + 1} \vec{c} + \frac{x}{z + x + 1} \vec{a}$

Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm $I = B F \cap C T$ và $N F \cap P T = J$ ta được :

$\vec{S I} = \frac{1}{x + y + z + 1} (x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}),$

$\vec{S J} = \frac{1}{x + y + z + 2} (x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c})$

Suy ra $\vec{S J} = \frac{x + y + z + 1}{x + y + z + 2} \vec{S I}$

$\Rightarrow \vec{S J} = (x + y + z + 1) \vec{I J}$

Vậy $S, I, J$ thẳng hàng và

$\frac{S I}{I J} = x + y + z + 1$

$= \frac{S M}{M A} + \frac{S N}{N B} + \frac{S P}{P C} + 1$

Câu 3:

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 4)

$\vec{B A} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{B B'} = \vec{c}$

Giả sử $\vec{A M} = x \vec{A C}, \vec{D N} = y \vec{D C'}$

Dễ dàng có các biểu diễn $\vec{B M} = (1 - x) \vec{a} + x \vec{b}$

và $\vec{B N} = (1 - y) \vec{a} + \vec{b} + y \vec{c}$ .

Từ đó suy ra

$\vec{M N} = (x - y) \vec{a} + (1 - x) \vec{b} + y \vec{c} (1)$

Để $M N ∥ B D'$ thì

$\vec{M N} = z \vec{B D'} = z (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:

$(x - y) \vec{a} + (1 - x) \vec{b} + y \vec{c}$

$= z (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\Leftrightarrow (x - y - z) \vec{a} + (1 - x - z) \vec{b}$

$+ (y - z) \vec{c} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x - y - z = 0 \\ 1 - x - z = 0 \\ y - z = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{array}$

Vậy các điểm $M, N$ được xác định bởi $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A C}, \vec{D N} = \frac{1}{3} \vec{D C'}$

Ta cũng có

$\vec{M N} = z \vec{B D'} = \frac{1}{3} \vec{B D'}$

$\Rightarrow \frac{M N}{B D'} = \frac{1}{3}$

Câu 4.

$\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C},$

$\vec{A Q} = \frac{1}{2} \vec{A D}, \vec{D P} = k \vec{D C}$ .

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

A. $k = \frac{1}{2}$

B. $k = \frac{1}{3}$

C. $k = \frac{1}{4}$

D. $k = \frac{1}{5}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cách 1.

Ta có $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B M} - \vec{B A} = - \frac{1}{3} \vec{B A}$

$\Rightarrow \vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B A}$

Lại có $\vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ do đó $M N ∥ A C$

Vậy Nếu $M, N, P, Q$ đồng phẳng thì

$(M N P Q) \cap (A C D) = P Q ∥ A C$

$\Rightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{Q A}{Q D} = 1$ hay $\vec{D P} = \frac{1}{2} \vec{D C}$

$\Rightarrow k = \frac{1}{2}$ .

Cách 2. Đặt $\vec{D A} = \vec{a}, \vec{D B} = \vec{b}, \vec{D C} = \vec{c}$ thì không khó khăn ta có các biểu diễn

$\vec{M N} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ , $\vec{M P} = - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + k \vec{c}$ ,

$\vec{M N} = - \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

Các điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ $\vec{M N}, \vec{M P}, \vec{M Q}$ đồng phẳng

$\Leftrightarrow \exists x, y : \vec{M P} = x \vec{M N} + y \vec{M Q}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + k \vec{c}$

$= x (- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{c})$

$+ y (- \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b})$

Do các vec tơ $\vec{a}, \vec{b,} \vec{c}$ không đồng phẳng nên điều này tương đương với

$\begin{array}{l} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{6} y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} x = k \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{3}{4}, y = 1, k = \frac{1}{2} .$

Câu 5:

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: $\vec{O I} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

B. Vì $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ nên bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng.

C. Vì $\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{0}$ nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức $\vec{A B} = 2 \vec{A C} - 8 \vec{A D}$ ta suy ra ba vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Do $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ đúng với mọi điểm $A, B, C, D$ nên câu B sai.

Câu 6:

A. Ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia $O x, O y, O z$ vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương $\overset{⇀}{a}$ và $\overset{⇀}{b}$ . Khi đó ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n sao cho $\overset{⇀}{c} = m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b}$ , ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.

D. Nếu có $m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b} + p \overset{⇀}{c} = \overset{⇀}{0}$ và một trong ba số m,n,p khác 0 thì ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai

Câu 7:

A. $k = 2$

B. $k = 4$

C. $k = 1$

D. $k = 0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta chứng minh được $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ nên $k = 1$

Câu 8:

A. Nếu $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng thì từ $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ ta suy ra $m = n = p = 0$

B. Nếu có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ , trong đó $m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0$ thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m + n + p \neq 0$ ta có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

D. Nếu giá của $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng qui thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Câu 9:

A. $\vec{A M} = \vec{a} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b}$

B. $\vec{A M} = \vec{b} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a}$

C. $\vec{A M} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

D. $\vec{A M} = \vec{a} - \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$

$= \vec{C B} - \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{B B^{'}}$

$= \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

Câu 10:

A. $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$

B. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$

C. $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = 0$

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$

$= \vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B C}$

$= \vec{C B} + \vec{B C} = \vec{0}$

Bài tập liên quan

▸Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

▸Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

▸Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

▸Lý thuyết Khoảng cách

▸Lý thuyết Ôn tập chương 5

Write your answer here

Anonymous

Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vecto, được kí hiệu là $\vec{A B}$ .

1. Định nghĩa.

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian

- Phép cộng và phép trừ của hai vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vecto trong mặt phẳng.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh $\vec{D A} + \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{D C}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\vec{D A} = \vec{D C} + \vec{C A}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{D A} + \vec{B C} = \vec{D C} + \vec{C A} + \vec{B C} \\ = \vec{D C} + (\vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{D C} + \vec{B A} \end{array}$

( điều phải chứng minh).

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng.

Trong trường hợp này, giá của các vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh $\vec{B D}, \vec{I K}, \vec{G F}$ đồng phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Xét tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow$ IK// AC nên IK// mp ( ABCD) .

Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD)

Ta có : $\begin{array}{l} I K // (A B C D) \\ G F // (A B C D) \\ B D \subset (A B C D) \end{array}$

$\Rightarrow \vec{B D}, \vec{I K}, \vec{G F}$ đồng phẳng.

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

- Định lí 1.

- Định lí 2.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’ . Đặt $\vec{C A} = \vec{a}; \vec{C B} = \vec{b}; \vec{A A'} = \vec{c}$ . Phân tích vecto $\vec{A M}$ theo $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ .

Lời giải:

Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{C B} - \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{B B^{'}}$ (vì M là trung điểm của BB’) .

$= \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{A A^{'}} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt $\vec{S A} = \vec{a}; \vec{S B} = \vec{b}; \vec{S C} = \vec{c}; \vec{S D} = \vec{d}$ . Chứng minh: $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O} \\ \vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} \end{array}$ (do tính chất của đường trung tuyến)

$\Rightarrow \vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D} \Leftrightarrow \vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{x}; \vec{A C} = \vec{y}; \vec{A D} = \vec{z}$ . Phân tích vecto theo các vecto $\vec{x}; \vec{y}; \vec{z}$

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm CD.

Ta có :

( do M là trung điểm của CD))

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh:

a) $\vec{I K} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}}$ .

b) Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) $\vec{B D} + 2 \vec{I K} = 2 \vec{B C}$ .

d) Ba vectơ $\vec{B D}; \vec{I K}; \vec{B' C'}$ đồng phẳng.

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Do tính chất đường trung bình trong tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’ nên ta có: $\vec{I K} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}}$

b) Do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK// AC

Suy ra, bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) Ta có:

$\vec{B D} + 2 \vec{I K} = \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{A C} = \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{A D} + \vec{D C} = \vec{B C} + \vec{A D} = \vec{B C} + \vec{B C} = 2 \vec{B C}$

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Câu 1:

A. $\frac{M A}{M A'} = 1$

B. $\frac{M A}{M A'} = \sqrt{2}$

C. $\frac{M A}{M A'} = 2$

D. $\frac{M A}{M A'} = \sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $\vec{A D} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A A'} = \vec{c}$ .

Vì $M \in A A'$ nên $\vec{A M} = k \vec{A A'} = k \vec{c}$

$N \in B C \Rightarrow \vec{B N} = l \vec{B C} = l \vec{a}$ ,

$P \in C' D' \Rightarrow \vec{C' P} = m \vec{b}$

Ta có $\vec{N M} = \vec{N B} + \vec{B A} + \vec{A M}$

$= - l \vec{a} - \vec{b} + k \vec{c}$

$\vec{N P} = \vec{B N} + \vec{B B'} + \vec{B' C'} + \vec{C' P}$

$= (1 - l) \vec{a} + m \vec{b} + \vec{c}$

Do $\vec{N M} = 2 \vec{N P}$

$\Rightarrow - l \vec{a} - \vec{b} + k \vec{c}$

$= 2 [(1 - l) \vec{a} + m \vec{b} + \vec{c}]$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} - l = 2 (1 - l) \\ - 1 = 2 m \\ k = 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow k = 2, m = - \frac{1}{2}, l = 2$ .

Vậy $\frac{M A}{M A'} = 2$ .

Câu 2:

Ta được $S, I, J$ thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{2} = \frac{J S}{J I}$

B. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{4} = \frac{J S}{J I}$

C. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{3} = \frac{J S}{J I}$

D. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + 1 = \frac{J S}{J I}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Goi $E = B P \cap C N, F = C M \cap A P,$ $T = A N \cap B M$ .

Trong $(B C M)$ có $I = B F \cap C T$ trong $(A N P)$ có $N F \cap P T = J$ .

Đặt $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}$

và $\vec{S M} = x \vec{M A}, \vec{S N} = y \vec{N B}, \vec{S p} = z \vec{P C}$

Ta có

$\vec{S M} = \frac{x}{x + 1} \vec{a}, \vec{S N} = \frac{y}{y + 1} \vec{b},$

$\vec{S P} = \frac{z}{z + 1} \vec{c}$

$(x > 0, y > 0, z > 0)$

Do $T = A N \cap B M$ nên

$\begin{array}{l} T \in A N \\ T \in B M \end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l} \vec{S T} = α \vec{S M} + (1 - α) \vec{S B} \\ \vec{S T} = β \vec{S N} + (1 - β) \vec{S A} \end{array}$

$\Rightarrow α \vec{S M} + (1 - α) \vec{S B}$

$= β \vec{S N} + (1 - β) \vec{S A}$

$\Leftrightarrow \frac{α x}{x + 1} \vec{a} + (1 - α) \vec{b}$

$= \frac{β y}{y + 1} \vec{b} + (1 - β) \vec{a}$

Vì $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương nên ta có

$\begin{array}{l} \frac{α x}{x + 1} = 1 - β \\ \frac{β y}{y + 1} = 1 - α \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} α = \frac{x}{x + y + 1} \\ β = \frac{y}{x + y + 1} \end{array}$

$\Rightarrow \vec{S T} = \frac{x}{x + y + 1} \vec{a} + \frac{y}{x + y + 1} \vec{b}$

Hoàn toàn tương tự ta có :

$\vec{S E} = \frac{y}{y + z + 1} \vec{b} + \frac{z}{y + z + 1} \vec{c},$

$\vec{S F} = \frac{z}{z + x + 1} \vec{c} + \frac{x}{z + x + 1} \vec{a}$

Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm $I = B F \cap C T$ và $N F \cap P T = J$ ta được :

$\vec{S I} = \frac{1}{x + y + z + 1} (x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}),$

$\vec{S J} = \frac{1}{x + y + z + 2} (x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c})$

Suy ra $\vec{S J} = \frac{x + y + z + 1}{x + y + z + 2} \vec{S I}$

$\Rightarrow \vec{S J} = (x + y + z + 1) \vec{I J}$

Vậy $S, I, J$ thẳng hàng và

$\frac{S I}{I J} = x + y + z + 1$

$= \frac{S M}{M A} + \frac{S N}{N B} + \frac{S P}{P C} + 1$

Câu 3:

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 4)

$\vec{B A} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{B B'} = \vec{c}$

Giả sử $\vec{A M} = x \vec{A C}, \vec{D N} = y \vec{D C'}$

Dễ dàng có các biểu diễn $\vec{B M} = (1 - x) \vec{a} + x \vec{b}$

và $\vec{B N} = (1 - y) \vec{a} + \vec{b} + y \vec{c}$ .

Từ đó suy ra

$\vec{M N} = (x - y) \vec{a} + (1 - x) \vec{b} + y \vec{c} (1)$

Để $M N ∥ B D'$ thì

$\vec{M N} = z \vec{B D'} = z (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:

$(x - y) \vec{a} + (1 - x) \vec{b} + y \vec{c}$

$= z (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\Leftrightarrow (x - y - z) \vec{a} + (1 - x - z) \vec{b}$

$+ (y - z) \vec{c} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x - y - z = 0 \\ 1 - x - z = 0 \\ y - z = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{array}$

Vậy các điểm $M, N$ được xác định bởi $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A C}, \vec{D N} = \frac{1}{3} \vec{D C'}$

Ta cũng có

$\vec{M N} = z \vec{B D'} = \frac{1}{3} \vec{B D'}$

$\Rightarrow \frac{M N}{B D'} = \frac{1}{3}$

Câu 4.

$\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C},$

$\vec{A Q} = \frac{1}{2} \vec{A D}, \vec{D P} = k \vec{D C}$ .

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

A. $k = \frac{1}{2}$

B. $k = \frac{1}{3}$

C. $k = \frac{1}{4}$

D. $k = \frac{1}{5}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cách 1.

Ta có $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B M} - \vec{B A} = - \frac{1}{3} \vec{B A}$

$\Rightarrow \vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B A}$

Lại có $\vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ do đó $M N ∥ A C$

Vậy Nếu $M, N, P, Q$ đồng phẳng thì

$(M N P Q) \cap (A C D) = P Q ∥ A C$

$\Rightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{Q A}{Q D} = 1$ hay $\vec{D P} = \frac{1}{2} \vec{D C}$

$\Rightarrow k = \frac{1}{2}$ .

Cách 2. Đặt $\vec{D A} = \vec{a}, \vec{D B} = \vec{b}, \vec{D C} = \vec{c}$ thì không khó khăn ta có các biểu diễn

$\vec{M N} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ , $\vec{M P} = - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + k \vec{c}$ ,

$\vec{M N} = - \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

Các điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ $\vec{M N}, \vec{M P}, \vec{M Q}$ đồng phẳng

$\Leftrightarrow \exists x, y : \vec{M P} = x \vec{M N} + y \vec{M Q}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + k \vec{c}$

$= x (- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{c})$

$+ y (- \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b})$

Do các vec tơ $\vec{a}, \vec{b,} \vec{c}$ không đồng phẳng nên điều này tương đương với

$\begin{array}{l} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{6} y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} x = k \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{3}{4}, y = 1, k = \frac{1}{2} .$

Câu 5:

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: $\vec{O I} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

B. Vì $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ nên bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng.

C. Vì $\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{0}$ nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức $\vec{A B} = 2 \vec{A C} - 8 \vec{A D}$ ta suy ra ba vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Do $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ đúng với mọi điểm $A, B, C, D$ nên câu B sai.

Câu 6:

A. Ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia $O x, O y, O z$ vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai

Câu 7:

A. $k = 2$

B. $k = 4$

C. $k = 1$

D. $k = 0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta chứng minh được $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ nên $k = 1$

Câu 8:

A. Nếu $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng thì từ $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ ta suy ra $m = n = p = 0$

B. Nếu có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ , trong đó $m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0$ thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m + n + p \neq 0$ ta có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

D. Nếu giá của $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng qui thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Câu 9:

A. $\vec{A M} = \vec{a} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b}$

B. $\vec{A M} = \vec{b} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a}$

C. $\vec{A M} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

D. $\vec{A M} = \vec{a} - \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$

$= \vec{C B} - \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{B B^{'}}$

$= \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

Câu 10:

A. $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$

B. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$

C. $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = 0$

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$

$= \vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B C}$

$= \vec{C B} + \vec{B C} = \vec{0}$

Bài tập liên quan

▸Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

▸Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

▸Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

▸Lý thuyết Khoảng cách

▸Lý thuyết Ôn tập chương 5

Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

1. Định nghĩa.

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh DA→+​ BC→=BA→+​ DC→

Lời giải:

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh BD→,IK→,GF→ đồng phẳng.

Lời giải:

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

- Định lí 1.

- Định lí 2.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’ . Đặt CA→=a→;CB→=b→;A​A'→=c→. Phân tích vecto AM→ theo a→;b→;c→.

Lời giải:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→=a→;SB→=b→;SC→=c→;SD→=d→. Chứng minh: a→+c→=d→+b→

Lời giải:

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt AB→=x→;AC→=y→;AD→=z→. Phân tích vecto theo các vecto x→;y→;z→

Lời giải:

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh:

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4.

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

Câu 10:

Bài tập liên quan

Write your answer here

Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

1. Định nghĩa.

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh DA→+​ BC→=BA→+​ DC→

Lời giải:

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh BD→,IK→,GF→ đồng phẳng.

Lời giải:

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

- Định lí 1.

- Định lí 2.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’ . Đặt CA→=a→;CB→=b→;A​A'→=c→. Phân tích vecto AM→ theo a→;b→;c→.

Lời giải:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→=a→;SB→=b→;SC→=c→;SD→=d→. Chứng minh: a→+c→=d→+b→

Lời giải:

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt AB→=x→;AC→=y→;AD→=z→. Phân tích vecto theo các vecto x→;y→;z→

Lời giải:

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh:

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4.

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

Câu 10:

Bài tập liên quan

Write your answer here

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh $\vec{D A} + \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{D C}$

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh $\vec{B D}, \vec{I K}, \vec{G F}$ đồng phẳng.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’ . Đặt $\vec{C A} = \vec{a}; \vec{C B} = \vec{b}; \vec{A A'} = \vec{c}$ . Phân tích vecto $\vec{A M}$ theo $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ .

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt $\vec{S A} = \vec{a}; \vec{S B} = \vec{b}; \vec{S C} = \vec{c}; \vec{S D} = \vec{d}$ . Chứng minh: $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{x}; \vec{A C} = \vec{y}; \vec{A D} = \vec{z}$ . Phân tích vecto theo các vecto $\vec{x}; \vec{y}; \vec{z}$

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh $\vec{D A} + \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{D C}$

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh $\vec{B D}, \vec{I K}, \vec{G F}$ đồng phẳng.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’ . Đặt $\vec{C A} = \vec{a}; \vec{C B} = \vec{b}; \vec{A A'} = \vec{c}$ . Phân tích vecto $\vec{A M}$ theo $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ .

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt $\vec{S A} = \vec{a}; \vec{S B} = \vec{b}; \vec{S C} = \vec{c}; \vec{S D} = \vec{d}$ . Chứng minh: $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{x}; \vec{A C} = \vec{y}; \vec{A D} = \vec{z}$ . Phân tích vecto theo các vecto $\vec{x}; \vec{y}; \vec{z}$