Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (T1)

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (T2)

A. Lý thuyết

I. Phương  trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b =  0   (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ 1.

a) – 3sinx + 8 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) 6cotx + 10 = 0 là phương trình bậc nhất đối với cotx.

2. Cách giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) Từ 2sinx – 4 = 0, chuyển vế ta có: 2sinx = 4 (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) cho 2, ta được: sinx = 2.

Vì 2 > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Từ $3\tan x-\sqrt{3}=0$, chuyển vế ta có: $3\tan x=\sqrt{3}$ (3)

Chia cả 2 vế của phương trình (3) cho ta được: $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\iff \tan x=\tan \frac{\pi }{6}\iff x=\frac{\pi }{6}+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

- Ví dụ 3. Giải các phương trình:

a) sin2x – cosx = 0;

b) – 4sinx. cosx. cos2x = 1.

Lời giải:

a) Ta có: sin2x – cosx = 0

2sinx. cosx – cosx = 0

cosx. (2sinx – 1) = 0

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ 4.

a) 3cos²x – 5cosx + 2 = 0 là phương trình bậc hai đối với cosx.

b) – 10tan²x + 10tanx = 0 là phương trình bậc hai đối với tanx.

2. Cách giải.

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ 5. Giải phương trình: 2cos²x – 4 cosx = 0.

Lời giải:

Đặt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 .

Ta được phương trình bậc hai ẩn t là: 2t² – 4t = 0 $\iff \begin{array}{c}t=0\\ t=2\end{array}$

Trong hai nghiệm này chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì cos x = 0

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác đã học để biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Ví dụ 6. Giải phương trình 3sin²x – 6cosx – 3 = 0.

Lời giải:

Vì sin²x = 1 – cos²x nên phương trình đã cho tương đương:

3(1 – cos²x) – 6cosx – 3 = 0

– 3cos² x – 6cosx = 0  (*)

Đăt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 , phương trình (*) trở thành:

– 3t² – 6t = 0 $\iff \begin{array}{c}t=0\\ t=-2\end{array}$.

Trong hai nghiệm này, chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì; cosx = 0 $v\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

- Ví dụ 7. Giải phương trình: sin²x – 3sinx. cosx + 2cos²x = 0  (1).

Lời giải:

+ Nếu cosx = 0 thì sin²x = 1 nên phương trình (1) có :

VT(1) = 1 và VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ Vì cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1) cho cos² x, ta được:

tan²x – 3tanx + 2 = 0  (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t² – 3t + 2 =  0

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

1. Công thức biến đổi biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta có công thức biến đổi sau:

$a\sin x+\text{\hspace{0.17em}}b.c\text{osx \hspace{0.17em}=}\sqrt{a2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{b}^2}.\sin (x+\text{}\alpha )\left(1\right)$

Trong đó; 

$\text{cos}\alpha \text{ \hspace{0.17em}= \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

2. Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c  (2)

Với a; b; c ; a, b không đồng thời bằng 0.

- Nếu a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản.

- Nếu a ≠ 0; b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1).

Ví dụ 8. Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x-c\text{osx = \hspace{0.17em}}2$.

Lời giải:

Theo công thức (1) ta có:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là

Trong hai nghiệm thì chỉ có nghiệm t = 1 thỏa mãn.

Với t = 1 thì sinx = 1$\iff x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$ .

Đặt t = tan x (với t ≠ 0), phương trình (3) trở thành:

Bài 2. Giải các phương trình:

a) 2sin² x + 2sinx. cosx – 4cos²x = 0;

b) 3sin²x + sin2x + 3cos²x = 2.

Lời giải:

a) 2sin² x + 2sinx. cosx – 4cos²x = 0   (1)

+ Nếu cosx = 0 thì sin²x = 1 nên phương trình (1) có :

VT(1) = 2 và VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ Vì cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1) cho cos² x, ta được:

2tan²x + 2tanx – 4 = 0  (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: 2t² + 2t – 4 =  0

$\iff \begin{array}{c}t=1\\ t=-2\end{array}$

Với t = 1 thì tanx = 1 $\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Với t = –2 thì tanx = – 2$\iff x=\arctan \left(-2\right)+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

+ Nếu cosx = 0 thì sin²x = 1 nên phương trình (2) có :

VT(2) = 3 và VP(2) = 2

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (2) . Vậy cosx ≠ 0.

+ Vì cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (2) cho cos² x, ta được:

Đặt t = tanx, phương trình (3) trở thành:

Bài 3. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) Ta có:

Vì  $\frac{4}{\sqrt{13}}$> 1 nên phương trình (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 4. Giải phương trình: 

$\sin 2x-\sqrt{3}\cos x=\sin x-\sqrt{3}\text{cos2x}$

Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình là

 $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Câu 1.

A. $\frac{\pi }{4}\in S.$

B. $\frac{\pi }{2}\in S.$

C. $\frac{3\pi }{4}\in S.$

D. $\frac{5\pi }{4}\in S.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Phương trình $\iff \sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}$

$\iff \begin{array}{l}2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}.$

Xét nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, với k = 1 ta được $x=\frac{3\pi }{4}.$

Câu 2.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình $\iff \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$

$\iff \begin{array}{l}2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}.$

$0<k\pi <\frac{\pi }{2}$

$\iff 0<k<\frac{1}{2}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }$ không có giá trị thỏa mãn.

 $0<\frac{\pi }{6}+k\pi <\frac{\pi }{2}$

$\iff -\frac{1}{6}<k<\frac{1}{3}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0$

$\to x=\frac{\pi }{6}.$

Câu 3.

A. $T=\frac{7\pi }{8}.$

B. $T=\frac{21\pi }{8}.$

C. $T=\frac{11\pi }{4}.$

D. $T=\frac{3\pi }{4}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Phương trình $\iff {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x-\sin 2x=\sqrt{2}$

$\iff \cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

$\iff 2x+\frac{\pi }{4}=k2\pi$

$\iff x=-\frac{\pi }{8}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Do $0<x<2\pi$

$\stackrel{}{\to }0<-\frac{\pi }{8}+k\pi <2\pi$

$\iff \frac{1}{8}<k<\frac{17}{8}$

$\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }\begin{array}{l}k=1\to x=\frac{7\pi }{8}\\ k=2\to x=\frac{15\pi }{8}\end{array}$

$\stackrel{}{\to }T=\frac{7\pi }{8}+\frac{15\pi }{8}=\frac{11}{4}\pi .$

Câu 4.

A. $x_0=\frac{\pi }{2}.$

B.  $x_0=\frac{\pi }{18}.$

C.  $x_0=\frac{\pi }{24}.$

D. $x_0=\frac{\pi }{54}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình 

$\iff 3\sin 3x-4{\sin }^{3}3x-\sqrt{3}\cos 9x=1$

$\iff \sin 9x-\sqrt{3}\cos 9x=1$

$\iff \frac{1}{2}\sin 9x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(9x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(9x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff \begin{array}{l}9x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 9x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}\\ x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}\end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}>0\\ \iff k>-\frac{1}{4}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }{k}_{\min }=0\\ \to x=\frac{\pi }{18}\\ \frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}>0\\ \iff k>-\frac{7}{12}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }{k}_{\min }=0\\ \to x=\frac{7\pi }{54}\end{array}.$

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{18}.$

Câu 5.

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình $\iff \frac{1}{2}\sin 5x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x=\sin 7x$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin 7x$

$\iff \sin 7x=\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right).$

$\iff \begin{array}{l}7x=5x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 7x=\pi -\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{6}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

• $0<\frac{\pi }{6}+k\pi <\frac{\pi }{2}$

$\iff -\frac{1}{6}<k<\frac{1}{3}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0\to x=\frac{\pi }{6}.$

• $0<\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$

$\iff -\frac{1}{3}<k<\frac{8}{3}$

$\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }\begin{array}{l}k=0\to x=\frac{\pi }{18}\\ k=1\to x=\frac{2\pi }{9}\\ k=2\to x=\frac{7\pi }{18}\end{array}.$

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.

Câu 6.

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \text{, }k\in \mathbb{Z}.$

B. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

C.  $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

D. $x=\frac{7\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Điều kiện $\sin x-\frac{1}{2}\ne 0\iff \sin x\ne \frac{1}{2}$

$\iff \sin x\ne \sin \frac{\pi }{6}$

$\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne \frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường tròn lượng giác (Hình 1).

Phương trình $\iff \cos x-\sqrt{3}\sin x=0$

$\iff \cos x=\sqrt{3}\sin x$

$\iff \cot x=\sqrt{3}$

$\iff \cot x=\cot \frac{\pi }{6}$

$\iff x=\frac{\pi }{6}+l\pi \left(l\in \mathbb{Z}\right).$

Biểu diễn nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+l\pi$ trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$. Do đó phương trình có nghiệm $x=\frac{7\pi }{6}+2l\pi \left(l\in \mathbb{Z}\right).$

Câu 7.

A.  21

B.  20

C.  18

D.  11

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Phương trình có nghiệm 

$\iff {\left(m+1\right)}^2+m^2\ge {\left(1-m\right)}^2$

$\iff m^2+4m\ge 0\iff \begin{array}{l}m\ge 0\\ m\le -4\end{array}$

$\to m\in \left.-10;-\mathrm{9..};-4;0;1;..;9;10\right\}$

$\stackrel{}{\to }$ có 18 giá trị.

Câu 8.

A.  4037

B.  4036

C.  2019

D.  2020

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình

$\iff \left(m+1\right)\frac{1-\cos 2x}{2}-\sin 2x+\cos 2x$

$=0$

$\iff -2\sin 2x+\left(1-m\right)\cos 2x$

$=-m-1.$

Phương trình có nghiệm

$\iff {\left(-2\right)}^2+{\left(1-m\right)}^2\ge {\left(-m-1\right)}^2$

$\iff 4m\le 4\iff m\le 1$

$\underset{}{\overset{}{\to }}$có  2020 giá trị.

Câu 9.

A.  1

B.  2

C.  3

D.  4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$

$\iff \begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=1\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\sin x=\sin \frac{\pi }{6}\\ \sin x=1\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Theo giả thiết $0\le x<\frac{\pi }{2}$

$\iff \begin{array}{l}0\le \frac{\pi }{6}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\\ 0\le \frac{5\pi }{6}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\\ 0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}-\frac{1}{12}<k<\frac{1}{6}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0\\ \to x=\frac{\pi }{6}\\ -\frac{5}{12}<k<-\frac{1}{12}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k\in \varnothing \\ -\frac{1}{4}<k<0\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k\in \varnothing \end{array}.$

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên $\left.0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Câu 10.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình

$\iff 2{\cos }^{2}x+5\cos x+3=0$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos x=-\frac{3}{2}\left(loaïi\right)\end{array}$

$\iff \cos x=-1$

$\iff x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.