Anonymous

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

- asked 4 months agoVotes

0Answers

2Views

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

- Đường thẳng d được gọi là vuông góc vơi mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Khi d vuông góc với (α) ta còn nói (α) vuông góc với d hoặc d và (α) vuông góc với nhau và kí hiệu là $d ⊥ (α)$

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng

- Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

- Hệ quả. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minhh AB vuông góc với mặt phẳng (CDI).

Lời giải

Khi đó, $A B ⊥ (C D I)$ trong đó I là trung điểm của AB.

Thật vậy, vì ABC và ABD là các tam giác đều nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao : $C I ⊥ A B; D I ⊥ A B$

Suy ra: $A B ⊥ (C D I)$ .

III. Tính chất.

- Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.

Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

- Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

- Tính chất 1.

a) Cho hai đường thẳng song song.Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Tính chất 2.

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Tính chất 3.

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Chứng minh:

a) (IJK) // (SAC).

b) $B D ⊥ (S A C)$

c) $B D ⊥ (I J K)$ .

Lời giải:

a) Tam giác ABC có IJ Là đường trung bình của tam giác nên IJ // AC (1)

Tam giác SAB có IK là đường trung bình của tam giác nên IK// SA (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (IJK) // (SAC) .

b) Do $B D ⊥ A C; B D ⊥ S A$

Mà BD, AC $\subset$ (SAC) nên $B D ⊥ (S A C)$

c) Do $B D ⊥ (S A C)$ và (IJK) // ( SAC) nên $B D ⊥ (I J K)$

V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.

1. Phép chiếu vuông góc.

Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương của ∆ lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

2. Định lí ba đường vuông góc.

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Định nghĩa:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).

+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90⁰.

+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Khi d không vuông góc với (α) thì d cắt (α) tại điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác điểm O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (α) và $φ$ là góc giữa d và (α) thì $\hat{A O H} = φ$

- Chú ý: Nếu là góc giữa d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có: $0^{0} \leq φ \leq 90^{0}$ .

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và ( ABC).

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC vuông góc tại A có đường trung tuyến AH nên suy ra $A H = B H = C H = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$

Ta có:

$S H ⊥ (A B C) \Rightarrow S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \hat{(S A, (A B C))} = (S A; A H) = \hat{S A H} = α \Rightarrow \tan α = \frac{S H}{A H} = \sqrt{3} \Rightarrow α = 60 °$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh:

a) $B C ⊥ (S A B)$

b) $A H ⊥ (S B C)$

Lời giải:

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Do $S A ⊥ (A B C)$ và BC ⊂ ( ABC) nên $S A ⊥ B C$ .

Ta có:

$\begin{matrix} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \\ A B; S A \subset (S A B) \end{matrix} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

b)Vì $B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$

Lại có: SB $⊥ A H \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$

Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên ( ABC). Chứng minh :

a) $O A ⊥ B C$

b) $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} .$

c) H là trực tâm tam giác ABC

Lời giải :

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} O A ⊥ O B \\ O A ⊥ O C \end{array} \\ \Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C \end{array}$

b) Hạ $\begin{array}{l} O I ⊥ B C \\ O H ⊥ A I \end{array} .$

Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} O I ⊥ B C \\ B C ⊥ O A \end{array} \Rightarrow B C ⊥ (O A I) \\ \Rightarrow B C ⊥ O H \Rightarrow O H ⊥ (A B C) . \end{array}$

Xét tam giác AOI vuông tại O có OH đường cao :

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

c) Ta có: $\begin{array}{l} A B ⊥ O C \\ A B ⊥ O H \end{array} \Rightarrow A B ⊥ (O C H)$ $\Rightarrow A B ⊥ H C (1) .$

Tương tự $B C ⊥ O H (2) .$

Từ (1) và (2) suy ra: H là trực tâm tam giác ABC

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Chứng minh:

a) $B C ⊥ (S A H)$

b) $H K ⊥ (S B C)$ .

c) SH ; AK và BC đồng quy.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Ta có

$B C ⊥ S A, B C ⊥ S H \Rightarrow B C ⊥ (S A H)$

b)Ta có

$\begin{array}{l} C K ⊥ A B, C K ⊥ S A \\ \Rightarrow C K ⊥ (S A B) \Rightarrow C K ⊥ S B \end{array}$

Mặt khác có $CH ⊥ SB nên suy ra SB ⊥ (CHK)$ $\Rightarrow S B ⊥ H K$

Tương tự, $S C ⊥ H K$ $\Rightarrow H K ⊥ (S B C)$

c) Gọi M là giao điểm của SH và BC.

Do $B C ⊥ (S A H) \Rightarrow B C ⊥ A M$ hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK .

Suy ra, SH, AK và BC đồng quy.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $S A ⊥ (A B C D)$ . Biết $S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ . Tính góc giữa SC và ( ABCD) .

Lời giải :

Ta có:

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C \Rightarrow \hat{(S C; (A B C D))} = (S C ; C A) = \hat{S C A} = α$

+ Do ABCD là hình vuông cạnh a

$\Rightarrow A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}, S A = \frac{a \sqrt{6}}{3} \Rightarrow \tan α = \frac{S A}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow α = 30 °$

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 1:

A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng $(P)$

B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng $(P)$ thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(P)$

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì a vuông góc với b

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Giả sử xét hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ như hình vẽ có $\begin{array}{l} A' B' / / (A B C D) \\ B' C' ⊥ A' B' \end{array}$

nhưng $B' C' / / (A B C D) .$

Câu 2:

A. Htrùng với trọng tâm tam giác ABC

B. Htrùng với trực tâm tam giác ABC

C. Htrùng với trung điểm của AC

D. Htrùng với trung điểm của BC

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Do $S A = S B = S C$ nên $H A = H B = H C$ .

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ .

Mà $Δ A B C$ vuông tại B nên H là trung điểm của AC.

Câu 3:

A. $(S B H) \cap (S C H) = S H$

B. $(S A H) \cap (S B H) = S H$

C. $A B ⊥ S H$

D. $(S A H) \cap (S C H) = S H$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$(S B H) \cap (S C H) = (S B C)$

Câu 4:

A. $H A = H B = H C = H D$

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.

D. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau

$S A = S B = S C = S D$ và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD

Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Suy ra $H A = H B = H C = H D$ .

Nên đáp án B sai.

Câu 5:

A. Góc giữa AC và $(B C D)$ là góc ACB.

B. Góc giữa AD và $(A B C)$ là góc ADB.

C. Góc giữa AC và $(A B D)$ là góc CAB.

D. Góc giữa CD và $(A B D)$ là góc CBD.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Từ giả thiết ta có $\begin{array}{l} A B ⊥ B C \\ A B ⊥ C D \end{array} \Rightarrow A B ⊥ (B C D)$

Do đó $(A C, (B C D)) = \hat{A C B}$

Câu 6:

A. $30 °$ .

B. $45 °$ .

C. $60 °$ .

D. $90 °$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$S A ⊥ (A B C) \Rightarrow (S A, (A B C)) = 90 °$

Câu 7:

A. Góc giữa CD và $(A B D)$ là góc $\hat{C B D}$

B. Góc giữa AC và $(B C D)$ là góc $\hat{A C B}$

C. Góc giữa AD và $(A B C)$ là góc $\hat{A D B}$

D. Góc giữa AC và $(A B D)$ là góc $\hat{C B A}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Do $A B, B C, B D$ vuông góc với nhau từng đôi một nên $A B ⊥ (B C D)$ , suy ra BC là hình chiếu của AC lên $(B C D)$ .

Câu 8:

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $75 °$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

$A H = B H = C H = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$

Ta có: $S H ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\hat{(S A, (A B C))} = \hat{S A H} = α$

$\Rightarrow \tan α = \frac{S H}{A H} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow α = 60 °$

Câu 9:

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $75 °$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C$

$\Rightarrow \hat{(S C; (A B C D))} = \hat{S C A} = α$

ABCD là hình vuông cạnh a

$\Rightarrow A C = a \sqrt{2}, S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \tan α = \frac{S A}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow α = 30 °$

Câu 10:

A. $60^{0}$

B. $75^{0}$

C. $45^{0}$

D. $30^{0}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng $(A B C)$ nên $S H ⊥ (A B C)$

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp $(A B C)$

$\Rightarrow (S A; (A B C)) = (S A; A H) = \hat{S A H}$

Ta có: $S H ⊥ (A B C) \Rightarrow S H ⊥ A H$

Mà: $△ A B C = △ S B C \Rightarrow S H = A H$ .

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H $\Rightarrow \hat{S A H} = 45^{0}$

Bài tập liên quan

▸Lý thuyết Vectơ trong không gian

▸Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

▸Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

▸Lý thuyết Khoảng cách

▸Lý thuyết Ôn tập chương 5

Write your answer here

Anonymous

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

- asked 4 months agoVotes

0Answers

2Views

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

- Đường thẳng d được gọi là vuông góc vơi mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Khi d vuông góc với (α) ta còn nói (α) vuông góc với d hoặc d và (α) vuông góc với nhau và kí hiệu là $d ⊥ (α)$

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng

- Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

- Hệ quả. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minhh AB vuông góc với mặt phẳng (CDI).

Lời giải

Khi đó, $A B ⊥ (C D I)$ trong đó I là trung điểm của AB.

Thật vậy, vì ABC và ABD là các tam giác đều nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao : $C I ⊥ A B; D I ⊥ A B$

Suy ra: $A B ⊥ (C D I)$ .

III. Tính chất.

- Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.

Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

- Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

- Tính chất 1.

a) Cho hai đường thẳng song song.Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Tính chất 2.

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Tính chất 3.

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Chứng minh:

a) (IJK) // (SAC).

b) $B D ⊥ (S A C)$

c) $B D ⊥ (I J K)$ .

Lời giải:

a) Tam giác ABC có IJ Là đường trung bình của tam giác nên IJ // AC (1)

Tam giác SAB có IK là đường trung bình của tam giác nên IK// SA (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (IJK) // (SAC) .

b) Do $B D ⊥ A C; B D ⊥ S A$

Mà BD, AC $\subset$ (SAC) nên $B D ⊥ (S A C)$

c) Do $B D ⊥ (S A C)$ và (IJK) // ( SAC) nên $B D ⊥ (I J K)$

V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.

1. Phép chiếu vuông góc.

Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

2. Định lí ba đường vuông góc.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Định nghĩa:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).

+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90⁰.

- Chú ý: Nếu là góc giữa d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có: $0^{0} \leq φ \leq 90^{0}$ .

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và ( ABC).

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC vuông góc tại A có đường trung tuyến AH nên suy ra $A H = B H = C H = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$

Ta có:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh:

a) $B C ⊥ (S A B)$

b) $A H ⊥ (S B C)$

Lời giải:

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Do $S A ⊥ (A B C)$ và BC ⊂ ( ABC) nên $S A ⊥ B C$ .

Ta có:

$\begin{matrix} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \\ A B; S A \subset (S A B) \end{matrix} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

b)Vì $B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$

Lại có: SB $⊥ A H \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$

Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên ( ABC). Chứng minh :

a) $O A ⊥ B C$

b) $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} .$

c) H là trực tâm tam giác ABC

Lời giải :

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} O A ⊥ O B \\ O A ⊥ O C \end{array} \\ \Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C \end{array}$

b) Hạ $\begin{array}{l} O I ⊥ B C \\ O H ⊥ A I \end{array} .$

Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} O I ⊥ B C \\ B C ⊥ O A \end{array} \Rightarrow B C ⊥ (O A I) \\ \Rightarrow B C ⊥ O H \Rightarrow O H ⊥ (A B C) . \end{array}$

Xét tam giác AOI vuông tại O có OH đường cao :

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

c) Ta có: $\begin{array}{l} A B ⊥ O C \\ A B ⊥ O H \end{array} \Rightarrow A B ⊥ (O C H)$ $\Rightarrow A B ⊥ H C (1) .$

Tương tự $B C ⊥ O H (2) .$

Từ (1) và (2) suy ra: H là trực tâm tam giác ABC

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Chứng minh:

a) $B C ⊥ (S A H)$

b) $H K ⊥ (S B C)$ .

c) SH ; AK và BC đồng quy.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Ta có

$B C ⊥ S A, B C ⊥ S H \Rightarrow B C ⊥ (S A H)$

b)Ta có

$\begin{array}{l} C K ⊥ A B, C K ⊥ S A \\ \Rightarrow C K ⊥ (S A B) \Rightarrow C K ⊥ S B \end{array}$

Mặt khác có $CH ⊥ SB nên suy ra SB ⊥ (CHK)$ $\Rightarrow S B ⊥ H K$

Tương tự, $S C ⊥ H K$ $\Rightarrow H K ⊥ (S B C)$

c) Gọi M là giao điểm của SH và BC.

Do $B C ⊥ (S A H) \Rightarrow B C ⊥ A M$ hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK .

Suy ra, SH, AK và BC đồng quy.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $S A ⊥ (A B C D)$ . Biết $S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ . Tính góc giữa SC và ( ABCD) .

Lời giải :

Ta có:

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C \Rightarrow \hat{(S C; (A B C D))} = (S C ; C A) = \hat{S C A} = α$

+ Do ABCD là hình vuông cạnh a

$\Rightarrow A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}, S A = \frac{a \sqrt{6}}{3} \Rightarrow \tan α = \frac{S A}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow α = 30 °$

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 1:

A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng $(P)$

B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng $(P)$ thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(P)$

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì a vuông góc với b

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Giả sử xét hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ như hình vẽ có $\begin{array}{l} A' B' / / (A B C D) \\ B' C' ⊥ A' B' \end{array}$

nhưng $B' C' / / (A B C D) .$

Câu 2:

A. Htrùng với trọng tâm tam giác ABC

B. Htrùng với trực tâm tam giác ABC

C. Htrùng với trung điểm của AC

D. Htrùng với trung điểm của BC

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Do $S A = S B = S C$ nên $H A = H B = H C$ .

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ .

Mà $Δ A B C$ vuông tại B nên H là trung điểm của AC.

Câu 3:

A. $(S B H) \cap (S C H) = S H$

B. $(S A H) \cap (S B H) = S H$

C. $A B ⊥ S H$

D. $(S A H) \cap (S C H) = S H$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$(S B H) \cap (S C H) = (S B C)$

Câu 4:

A. $H A = H B = H C = H D$

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.

D. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau

$S A = S B = S C = S D$ và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD

Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Suy ra $H A = H B = H C = H D$ .

Nên đáp án B sai.

Câu 5:

A. Góc giữa AC và $(B C D)$ là góc ACB.

B. Góc giữa AD và $(A B C)$ là góc ADB.

C. Góc giữa AC và $(A B D)$ là góc CAB.

D. Góc giữa CD và $(A B D)$ là góc CBD.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Từ giả thiết ta có $\begin{array}{l} A B ⊥ B C \\ A B ⊥ C D \end{array} \Rightarrow A B ⊥ (B C D)$

Do đó $(A C, (B C D)) = \hat{A C B}$

Câu 6:

A. $30 °$ .

B. $45 °$ .

C. $60 °$ .

D. $90 °$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$S A ⊥ (A B C) \Rightarrow (S A, (A B C)) = 90 °$

Câu 7:

A. Góc giữa CD và $(A B D)$ là góc $\hat{C B D}$

B. Góc giữa AC và $(B C D)$ là góc $\hat{A C B}$

C. Góc giữa AD và $(A B C)$ là góc $\hat{A D B}$

D. Góc giữa AC và $(A B D)$ là góc $\hat{C B A}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Do $A B, B C, B D$ vuông góc với nhau từng đôi một nên $A B ⊥ (B C D)$ , suy ra BC là hình chiếu của AC lên $(B C D)$ .

Câu 8:

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $75 °$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

$A H = B H = C H = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$

Ta có: $S H ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\hat{(S A, (A B C))} = \hat{S A H} = α$

$\Rightarrow \tan α = \frac{S H}{A H} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow α = 60 °$

Câu 9:

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $75 °$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C$

$\Rightarrow \hat{(S C; (A B C D))} = \hat{S C A} = α$

ABCD là hình vuông cạnh a

$\Rightarrow A C = a \sqrt{2}, S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \tan α = \frac{S A}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow α = 30 °$

Câu 10:

A. $60^{0}$

B. $75^{0}$

C. $45^{0}$

D. $30^{0}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng $(A B C)$ nên $S H ⊥ (A B C)$

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp $(A B C)$

$\Rightarrow (S A; (A B C)) = (S A; A H) = \hat{S A H}$

Ta có: $S H ⊥ (A B C) \Rightarrow S H ⊥ A H$

Mà: $△ A B C = △ S B C \Rightarrow S H = A H$ .

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H $\Rightarrow \hat{S A H} = 45^{0}$

Bài tập liên quan

▸Lý thuyết Vectơ trong không gian

▸Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

▸Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

▸Lý thuyết Khoảng cách

▸Lý thuyết Ôn tập chương 5

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng

- Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

- Hệ quả. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minhh AB vuông góc với mặt phẳng (CDI).

Lời giải

III. Tính chất.

- Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.

- Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

- Tính chất 1.

- Tính chất 2.

- Tính chất 3.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA⊥(ABCD). Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Chứng minh:

Lời giải:

V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.

1. Phép chiếu vuông góc.

Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

2. Định lí ba đường vuông góc.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Định nghĩa:

- Chú ý: Nếu là góc giữa d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có: 00≤φ≤900.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và ( ABC).

Lời giải:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có SA⊥(ABC) và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh:

Lời giải:

Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên ( ABC). Chứng minh :

Lời giải :

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Chứng minh:

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA⊥ABCD. Biết SA=a63. Tính góc giữa SC và ( ABCD) .

Lời giải :

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

Câu 10:

Bài tập liên quan

Write your answer here

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (mới 2023 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng

- Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

- Hệ quả. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minhh AB vuông góc với mặt phẳng (CDI).

Lời giải

III. Tính chất.

- Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.

- Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

- Tính chất 1.

- Tính chất 2.

- Tính chất 3.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA⊥(ABCD). Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Chứng minh:

Lời giải:

V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.

1. Phép chiếu vuông góc.

Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

2. Định lí ba đường vuông góc.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Định nghĩa:

- Chú ý: Nếu là góc giữa d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có: 00≤φ≤900.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và ( ABC).

Lời giải:

B. Bài tập tự luyện

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Chứng minh:

- Chú ý: Nếu là góc giữa d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có: $0^{0} \leq φ \leq 90^{0}$ .

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh:

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $S A ⊥ (A B C D)$ . Biết $S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ . Tính góc giữa SC và ( ABCD) .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Chứng minh:

- Chú ý: Nếu là góc giữa d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có: $0^{0} \leq φ \leq 90^{0}$ .

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh:

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $S A ⊥ (A B C D)$ . Biết $S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ . Tính góc giữa SC và ( ABCD) .